Главная | Обратная связь

Інтегральна теорема Лапласа

 

Розглянемо ще одну задачу, яка виникає в процесі повторення випробувань, а саме: необхідно визначити ймовірність того, що подія А відбулася в результаті n випробувань не менше k₁ і не більше k₂ разів ( тобто від k₁ до k₂ ). Для розв’язування цієї задачі використовують інтегральну теорему Лапласа.

Т е о р е м а 3.2. Якщо ймовірність р появи події А при кожному випробуванні стала й відрізняється від 0 та 1, то ймовірність Р_n(k₁, k₂) того, що подія А відбудеться під час n випробувань від k₁ до k₂ разів, приблизно дорівнює такому визначеному інтегралу:

, (3.1)

 

.

 

Зведемо формулу (3.1) до вигляду, зручного для застосування:

 

Тобто

, .

 

Для обчислення функції користуються таблицями (табл. 2 додатка 1). При цьому необхідно пам’ятати, що:

- функція непарна , тобто ;

- для .

 

П р и к л а д 3.3. Імовірність того, що деталь не перевірена контролером, дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що серед 400 деталей від 70 до 100 неперевірених.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Скористаємось інтегральною теоремою Лапласа прийнявши, що р = 0,2, q = 0,8, k₁ = 70, k₂ = 100, n = 400. Тоді

 

 

з таблиць дізнаємось, що

Тоді .

 

 

Формула Пуассона

Розглянемо випадок, коли число випробувань n – велике, а ймовірність р настання події – мала. Як вже було зазначено вище, за таких умов використовувати формулу Бернуллі неможливо.

Припустимо що добуток np зберігає стале значення, а саме: np = l. Це означає, що середнє число випадків появи події А у серії випробувань залишається незмінним. Тоді

. (3.2)

 

Вираз (3.2) являє собою асимптотичну формулу Пуассона.

 

П р и к л а д 3.4. Завод відвантажив на базу 5000 якісних виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб буде пошкоджено, дорівнює 0,0002. Визначити ймовірність того, що на базу прибудуть три пошкоджених вироби.

 

Р о з в ’ я з у в а н н я.

За умовами задачі n = 5000, р = 0,0002. Визначимо величину λ:

 

λ = np = 5000∙0,0002 = 1.

 

Тоді шукана ймовірність за формулою Пуассона

 

 

Висновки

 

У незмінних умовах досліджень для обчислення ймовірності можна застосовувати:

- формулу Бернуллі, якщо кількість випробувань невелика;

- локальну теорему Лапласа при великій кількості випробувань;

- асимптотичну формулу Пуассона, якщо кількість випробувань велика, а ймовірність появи події, навпаки, мала;

- інтегральну теорему Лапласа для обчислення ймовірності настання події в серії випробувань від k₁ до k₂ разів .

Формула Бернуллі дає точні результати. Формули Лапласа і Пуассона – асимптотичні.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Для розв’язування яких задач можна застосовувати формулу Бернуллі?

2. Виведіть формулу Бернуллі.

3. Чим пояснюється різниця в результатах, які отримані за формулою Бернуллі та за локальною теоремою Лапласа?

4. Коли доцільно застосовувати локальну теорему Лапласа ?

5. Для яких випадків застосовується інтегральна теорема Лапласа ?

6. За яких умов доцільно застосовувати формулу Пуассона?