 |
|
Задачі до розділу 3
1. Що ймовірніше: виграти в рівносильного супротивника:
а) три партії із чотирьох або п'ять із восьми?
б) не менше трьох партій із чотирьох або не менше п'яти партій з восьми?
Розв’язування
Оскільки супротивники рівносильні, то ймовірності виграшу й програшу однакові, тобто 
.
а) Імовірність виграти три партії із чотирьох 
; імовірність виграти п'ять партій з восьми 
.
Оскільки 
, то ймовірніше виграти три партії із чотирьох.
б) Імовірність виграти не менше трьох партій із чотирьох . 
.
Імовірність виграти не менше п'яти партій із восьми
Оскільки 
, то ймовірніше виграти не менше п'яти партій із восьми.
Відповідь: а) ймовірніше виграти три партії із чотирьох; б) імовірніше виграти не менше п'яти партій із восьми.
2. У навчальному закладі вчиться 730 студентів. Припустивши, що дні народження студентів розподілені рівномірно протягом року, визначити ймовірність того, що навесні народилося не більше 200 студентів.
Розв’язування
При рівномірному розподілі днів народження ймовірність народитися навесні дорівнює 1/4. Для визначення шуканої ймовірності необхідно скористатися інтегральною теоремою Лапласа й відповідною формулою, тобто
,
тут 
і являє собою функцію Лапласа.
Обчислимо значення 
та 
:
; 
.
За табл. 2 додатка 1 визначаємо, що 
і 
.
Тоді 
.
Відповідь: 0,9325.
3. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі становить 0,4. Знайти ймовірність того, що внаслідок 300 пострілів будуть мати місце 130 влучень.
Розв’язування
Оскільки кількість випробувань велика, то варто застосувати локальну
теорему Лапласа й відповідну формулу: 
.
Обчислимо значення x:
.
За табл. 1 додатка 1 знаходимо, що 
, і визначаємо шукану ймовірність:
.
Відповідь: 0,0235.
4. Визначити ймовірність того, що номер першої зустрічної автомашини, не містить: а) цифри п'ять; б) двох і більше п'ятірок. Відомо, що всі номери чотиризначні й не повторюються.
Відповідь: а) 0,656 ; б) 0,948 .
5. Проводять чотири незалежні випробування, у кожному з яких подія A відбувається з імовірністю 0,3. Подія B настає з імовірністю 1, якщо подія A відбулася не менше двох разів. Подія B не може настати, якщо подія A не мала місце, і відбувається з імовірністю 0,6, якщо подія A мала місце один раз. Визначити ймовірність появи події B.
Відповідь: 0,595.
6. Імовірність появи деякої події в кожному з вісімнадцяти незалежних випробувань дорівнює 0,2. Визначити ймовірність настання цієї події принаймні три рази.
Відповідь: 0,73.
7. Гра полягає в накиданні кілець на кілочок. Гравець одержує 6 кілець і кидає їх до першого влучення. Знайти ймовірність того, що хоча б одне кільце залишиться невикористаним, якщо ймовірність влучення при кожному кидку дорівнює 0,1.
Відповідь: 0,41.
8. Знайти ймовірність того, що, витягаючи навмання 200 разів карти з колоди, на пікову масть попадають не менше 30 і не більше 60 разів. Після кожного виймання карта повертається в колоду.
Відповідь: 0,949.
9. Імовірність хоча б однієї події A під час проведення чотирьох незалежних випробувань дорівнює 0,59. Знайти ймовірність того, що протягом 100 аналогічних випробувань подія A відбудеться 20 разів.
Відповідь: 0,1.
10. Імовірність перегоряння кожної із трьох ламп у приладі протягом деякого проміжку часу дорівнює 0,1. Імовірність поламки приладу при перегорянні однієї лампи дорівнює 0,25; двох – 0,6; трьох – 0,9. Визначити ймовірність того, що прилад вийде з ладу.
Відповідь: 0,0779.