Числові характеристики дискретних
Випадкових величин Закон розподілу повністю описує випадкову величину. Але часто він невідомий, і ми маємо обмаль інформації, але й така її кількість дає змогу розв’язувати багато задач. До такої інформації можна віднести числові характеристики випадкових величин. Найважливіші з них – математичне сподівання та дисперсія. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень і їх імовірностей, тобто де х1 … хn – можливі значення дискретної випадкової величини Х, р1 … рn – імовірності цих можливих значень. Імовірнісний сенс математичного сподівання такий: математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше значення, чим більша кількість випробувань) середньому арифметичному значень випадкової величини, яка спостерігається. Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання сталої величини дорівнює їй самій. . 2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, а саме: . 3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто . 4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків. . П р и к л а д 4.6. Під час виконання трьох пострілів з рушниці ймовірність влучення у ціль кожного з них р1= 0,4 , р2= 0,3, р3= 0,6. Знайти математичне сподівання загальної кількості влучень. Р о з в ’ я з у в а н н я Загальна кількість влучень у ціль являє собою випадкову величину Х , яку можна подати в такому вигляді: Х = Х1 + Х2 + Х3, де Х1 – випадкова величина, що означає кількість влучень у першому пострілі, Х2 – у другому, X3 – у третьому. Зрозуміло, що можливі значення випадкових величин Х1, Х2, Х3 – це 0 і 1. А відповідні закони розподілу мають такий вигляд:
Знайдемо математичні сподівання випадкових величин Х1, Х2, Х3:
Тоді М(Х) = М(X1) + М(X2) + М(X3) = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3. Відповідь: 1,3.
Розглянемо таку задачу: чому дорівнює середнє число випадків появи події А в незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А у кожному випробуванні стала й дорівнює р? Відповідь на це питання дає подана нижче теорема. Т е о р е м а 4.1. Математичне сподівання М(Х) числа випадків появи події А під час n незалежних випробувань дорівнює добутку числа випробувань і ймовірності появи події у кожному випробуванні, а саме: .
Таким чином, математичне сподівання випадкової величини, що підпорядковується біномному закону або закону Пуассона, , деn – число випробувань, р – ймовірність настання події в одному випробуванні. Дисперсією дискретної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто .
Дисперсію також можна обчислити за такою формулою:
.
Доведіть цю формулу самостійно.
Властивості дисперсії
1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто . 2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії , підносячи його у квадрат, а саме: . 3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин: . 4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто .
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини від свого середнього значення і має розмірність, що дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Для випадкової величини Х, підпорядкованої біномному закону розподілу, дисперсія , деn – число випробувань, р – ймовірність появи події під час одного випробування, а ймовірність того, що подія не відбудеться в одному випробуванні, q = 1 – p. Ще одна важлива числова характеристика випадкової величини – середнє квадратичне відхилення. Середнім квадратичним відхиленням (СКВ) випадкової величини Х називають таку величину:
Ця характеристика також описує відхилення випадкової величини від свого середнього значення, але має ту саму розмірність, що й випадкова величина.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|