Главная | Обратная связь

Диференціальна функція розподілу

 

Неперервну випадкову величину можна задати за допомогою диференціальної функції розподілу.

Диференціальною функцією розподілу (позначається називається перша похідна від інтегральної функції розподілу, тобто

.

 

Диференціальна функція визначає щільність розподілу ймовірності для кожної точки x і має перелічені нижче властивості.

 

Властивості диференціальної функції розподілу

 

1. Диференціальна функція розподілу невід’ємна.

2. Невластивий інтеграл від диференціальної функції розподілу в межах від –¥ до +¥ дорівнює одиниці, тобто

Знаючи вигляд диференціальної функції , можна знайти інтегральну функцію за такою формулою:

(4.2)

П р и к л а д 4.8. Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією:

 

Р о з в ’ я з у в а н н я

Скористаємось формулою (4.2). Оскільки диференціальну функцію задано в певних інтервалах, то обчислювати інтегральну функцію також будемо в інтервалах.

1. Якщо то , а тому й ;

2. Якщо , то

 

;

 

3. Якщо то

 

.

 

Тоді шукана функція розподілу може бути записана таким чином:

 

А її графік має вигляд, зображений на рис. 4.4.

 

	F(x)

x

Рис. 4.4. Графік інтегральної функції розподілу (до прикладу 4.8.)

 

 

Використовуючи диференціальну функцію неперервної випадкової величини, ми можемо також обчислити ймовірність попадання цієї величини у заданий інтервал. Ця ймовірність обчислюється за такою формулою:

У геометричному сенсі ймовірність набуття випадковою величиною Х значення з інтервалу (а,b) дорівнює площі криволінійної трапеції, яка обмежена віссю 0x, прямими: x = a та x = b, і кривою розподілу .

П р и к л а д 4.9. Дано диференціальну функцію випадкової величини Х:

Обчислити ймовірність того, що внаслідок випробування випадкова величина Х набуде значення, що належить інтервалу (1; 2).

Р о з в ’ я з у в а н н я

.