 |
|
Розподіл суми двох незалежних доданків
Якщо кожній парі можливих значень випадкових величин Х та Y відповідає одне можливе значення випадкової величини Z, то Z називають функцією двох випадкових аргументів X та Y і записують таким чином:
Визначимо розподіл функції: Z = Х + Y, користуючись відомими розподілами доданків. Розглянемо два випадки.
1. Нехай Х та Y – дискретні незалежні випадкові величини. Для того щоб скласти закон розподілу функції Z = X + Y необхідно визначити всі можливі значення Z та їх імовірності. Розглянемо алгоритм обчислення на прикладі.
П р и к л а д. Дискретні незалежні випадкові величини задані своїми законами розподілу:
| Х | ||
| Р | 0,4 | 0,6 |
| Y | ||
| Р | 0,3 | 0,7 |
Визначити розподіл випадкової величини: Z = X + Y.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Можливі значення Z – це суми кожного можливого значення Х із усіма можливими значеннями Y, тобто
Обчислимо ймовірності цих можливих значень. Для того щоб величина Z набула значення 4, достатньо, щоб величина Х набула значення 1 і величина Y – значення 3. Імовірності цих значень відомі за умовами. Це 0,4 та 0,3. Аргументи Х та Y незалежні, тому події: Х = 1 та Y = 3, також незалежні, і тоді ймовірність їх одночасної появи (тобто ймовірність події: Z = 1 + 3 = 4) за теоремою множення 0,4×0,3 = 0,12.
Аналогічно визначимо, що
P(Z = 1 + 4 = 5) = 0,4×0,7 = 0,28,
P(Z = 2 + 3 = 5) = 0,6×0,2 = 0,12,
P(Z = 2 + 4 = 6) =0 ,6×0,8 = 0,48.
Зауважимо , що ймовірність події: Z = 5, є сумою ймовірностей незалежних подій: Z = 1 + 4 = 5 та Z = 2 + 3 = 5,
тобто
= 0, 28 + 0,12,
Це дозволяє нам скласти шуканий закон розподілу:
| Z | |||
| Р | 0,12 | 0,4 | 0,48 |
Виконаємо перевірку:
2. Припустимо, що Х та Y – неперервні випадкові величини.
Якщо Х та Y незалежні, то щільність розподілу g(z) суми: Z = X + Y (за умови, що щільність хоча б одного з аргументів задана на інтервалі (-¥, +¥) однією формулою) може бути визначена за допомогою однієї з таких формул:
або
Щільність розподілу суми незалежних випадкових величин називають композицією.
Закон розподілу ймовірностей називають стійким, якщо композиція таких законів являє собою той самий закон (але він може мати інші параметри). Нормальний закон розподілу має властивість стійкості: композиція нормальних законів також має нормальний розподіл, при цьому математичне сподівання та дисперсія цієї композиції дорівнює відповідно сумам математичних сподівань і дисперсій доданків.
Висновки
У практиці часто використовуються закони рівномірного, нормального та експоненціального розподілу.
Нормальний закон розподілу є граничним законом, до якого за певних умов наближаються майже всі закони теорії ймовірності.
Експоненціальний закон розподілу часто використовують у теорії надійності.
За рівномірним законом розподілені випадкові помилки округлення.
Розподіл і характеристики функцій випадкового аргументу можна визначати за відомим розподілом аргументів.
Питання для самоконтролю
1. Який закон розподілу називається рівномірним? Де він застосовується? Наведіть приклади.
2. Запишіть формулу для визначення математичного сподівання рівномірного закону розподілу?
3. Чому дорівнює дисперсія рівномірного закону розподілу?
4. Який закон розподілу називають нормальним?
5. Які значення параметрів а та σ відповідають нормованому нормальному закону розподілу?
6. Який імовірнісний сенс мають параметри нормального закону розподілу а та σ?
7. Які властивості кривої Гаусса ви знаєте ?
8. Яким чином обчислюють імовірність попадання в даний інтервал нормально розподіленої випадкової величини ?
9. Сформулюйте правило трьох сигм.
10. Як можна оцінити відхилення теоретичного розподілу від нормального?
11. Що таке асиметрія теоретичного розподілу випадкової величини? Що вона характеризує ?
12. Що таке ексцесс теоретичного розподілу випадкової величини? Що він характерізує?
13. Як зміниться форма кривої Гаусса при зменьшенні значення параметра σ? При збільшенні? При зміні значення параметра а ?
14. Запишіть диференціальну функцію показового закону розподілу.
15. Чому дорівнює математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за показовим законом?
16. Чому дорівнює дисперсія випадкової величини, розподіленної за показовим законом?
17. Як можна визначити розподіл функції за відомим розподілом випадкового аргументу, якщо Х– дискретна випадкова величина?
18. Яким чином визначають розподіл функції за відомим розподілом випадкового аргументу, якщо Х– неперервна випадкова величина?
19. Як можна обчислити математичне сподівання функції одного випадкового аргументу?
20. Дайте визначення композиції законів розподілу.
21. Який закон розподілу називають стійким?