 |
|
Задачі до розділу 5
1. Випадкова помилка Х виміру відстані до орієнтира в метрах має таку щільність імовірності: 
Визначити ймовірність того, що із трьох незалежних вимірів величина абсолютної помилки хоча б одного не перевищить 30 м.
Розв’язування
Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал визначається за такою формулою:
.
У цій задачі 
; 
; 
; 
, тоді
.
Це є ймовірність попадання помилки в інтервал (–30; 30) під час одного виміру. Значить імовірність попадання в цей інтервал хоча б один раз під час трьох вимірів 
.
Відповідь: 0,87.
2. На одній із шахтних дільниць встановлено три освітлювальні прилади., що працюють незалежно один від одного. Світильники 1, 2, 3 ввімкнуто в електричну мережу за схемою, яка зображена на рис. 5.10. Тривалість
 |
|
Рис. 5.10. Схема до задачі 2
безвідмовної роботи приладів 1, 2, 3 являє собою випадкову величину, що розподілена за показовим законом. Інтенсивності відмов у роботі приладів відповідно дорівнюють 0,001; 0,005; 0,003 за годину. Знайти ймовірність того, що через 100 годин на дільниці буде темно.
Розв’язування
Зробимо такі позначення: події 
, 
, 
– відмова через 100 годин роботи приладів 1, 2, 3 відповідно. Знайдемо ймовірності цих подій таким чином:
Щоб на дільниці було темно, має відмовити або прилад 1, або обидва прилади 2 й 3. Значить шукана ймовірність
.
Відповідь: 0,187.
3. Температура в нагрівальної печі 
залежить від витрати газу 
[м3/хв], а саме: 
. Витрата газу являє собою випадкову величину, що рівномірно розподілена в інтервалі 1,6 
2 м3/хв. Знайти математичне сподівання температури в печі.
Розв’язування
Температура в печі t – це функція випадкового аргументу – витрати газу . Математичне сподівання функції випадкового аргументу визначається за відомою формулою, а саме: 
.
Тут 
– функція випадкового аргументу;
– диференціальна функція рівномірно розподіленого в інтервалі 
аргументу , тому
Відповідь: 
4. Імовірність виявлення затонулого судна за час пошуку t задається такою формулою: 
. Визначити середнє значення часу пошуку, необхідного для виявлення судна.
Відповідь: 
5. Знайти математичне сподівання довжини хорди, що з'єднує задану точку кола радіусом 
з довільною точкою на цьому колі.
Відповідь: 
.
6. Номінальний діаметр кожної з випробовуваних кульок 10 мм. Кульки, що не проходять через круглий отвір діаметром 10,1 мм і проходять через отвір діаметром 9,9 мм, бракуються. Кульки виготовлені зі сталі щільністю 7,8 г/см3. Знайти математичне сподівання й дисперсію маси G небракованої кульки, вважаючи розподіл діаметра кульки в полі допуску рівномірним.
Відповідь: 3,8 г ; 1,3 г2 .
7. Висотомір літака має систематичну помилку +20 м і випадкову помилку, розподілену нормально з нульовим математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням 74 м. Для польоту літаку відведено коридор висотою 100 м. Яка ймовірність того, що літак буде перебувати в середині коридору?
Відповідь: 0,483.
8. Якої ширини повинен бути інтервал, щоб імовірність попадання в нього нормально розподіленої випадкової величини не перевищувала 0,1, якщо математичне сподівання ВВ збігається із серединою інтервалу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює 10 м?
Відповідь: 
1,3 м.
9. Випадкова величина Х – показова, її параметр l = 0,25; ВВ Y підпорядковується нормальному розподілу з такими параметрами: a = 1, σ = 5; Z – число очок, які випали при одному підкиданні кубика. Знайти математичне сподівання ВВ 
, якщо 
.
Відповідь: 
=10,5.
10. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, графік диференціальної функції розподілу якої зображено на рис. 5.11.
|
Рис. 5.11. Графік диференціальної функції розподілу ВВ до задачі 10
Відповідь: 0,601.
11. Середній час безвідмовної роботи приладу дорівнює 50 годинам. Яка ймовірність того, що прилад буде працювати безвідмовно більше 200 годин.
Відповідь: 
.
12. Випадкова величина Х відображає число гербів, які випали при підкиданні 5 монет; Y – рівномірна ВВ на інтервалі (1; 5). Знайти математичне сподівання і дисперсію ВВ 
, якщо 
.
Відповідь: 
; 
.
13. Випадкова величина Х – нормована нормальна; Y – рівномірна на інтервалі (0, 1); Z задана законом розподілу (див. табл.).
| Z | |||
| p | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Знайти математичне сподівання ВВ , якщо 
.
Відповідь: 
14. Час безвідмовної роботи дробарки розподілено за показовим законом з параметром 0,01. Знайти ймовірність того, що відмова станеться менше, ніж за 100 годин роботи.
Відповідь: 0,629.
15. Ціна поділки на шкалі вимірювального приладу дорівнює 0,2. Покази приладу округляють до найближчої поділки. Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде допущена помилка, менша за 0,04 (помилку округлення вважати рівномірно розподіленою випадковою величиною).
Відповідь: 0,4.
16. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х відповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення в інтервалі (15, 25).
Відповідь: 0,6826.
17. Знайти ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина (її параметри a = 7 та σ = 2) відхилиться від свого математичного сподівання менше, ніж на величину: δ = 1 .
Відповідь: 0,383
18. Знайти інтервал, в який з ймовірністю 0,9973 потрапляє нормально розподілена випадкова величина, якщо a = 5, s = 3.
Відповідь: (– 4; 14).
19. Випадкова величина розподілена за показовим законом, її параметр l = 0,5. Знайти ймовірність того, що вона набуде значення в інтервалі [0; 2].
Відповідь: 0,629.
20. Проводиться зважування деякої речовини без систематичних помилок. Знаючи, що випадкові помилки зважування розподілені нормально з середнім квадратичним відхиленням s = 5 г, знайти ймовірність того, що допущена помилка за абсолютною величиною буде: а) меншою 10 г; б) більшою 7 г .
Відповідь: а)0,9544; б) 0,1616.