Главная | Обратная связь

Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції

 

Для опису системи двох випадкових величин використовують такі числові характеристики як математичне сподівання та дисперсія кожної із їхніх складових, середнє квадратичне відхилення цих складових та ін. Вони описують окремі властивості кожної із складових. Розглянемо числові характеристики, які описують взаємну залежність випадкових величин. До таких характеристик відносяться кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.

Кореляційним моментом m_ху випадкових величин Х та Y називають математичне сподівання добутку відхилень цих величин від їх математичних сподівань, а саме:

.

Для обчислення кореляційного моменту дискретних величин використовують таку формулу:

,

а для обчислення кореляційного моменту неперервних величин формула набуває такого виду:

.

Кореляційний момент характеризує зв’язок між величинами Х та Y. Він має важливу властивість, яку сформульована нижче теорема.

Т е о р е м а. Кореляційний момент двох незалежних величин Х та Y дорівнює нулю.

Д о в е д е н н я. Оскільки Х та Y – незалежні випадкові величини, то їх відхилення (Х – М(Х)) та (Y – M(Y)) також незалежні. Тоді за властивостями математичного сподівання і, враховуючи, що математичне сподівання відхилення дорівнює нулю, отримуємо, що

 

Теорему доведено.

 

Із цієї теореми випливає, що коли кореляційний момент двох величин не дорівнює нулю, то ці величини залежні. Однак із рівності нулю кореляційного моменту не випливає, що величини незалежні

Припустимо тепер, що одна з величин Х та Y має дуже малу, майже нульову дисперсію. Це означає, що відхилення цієї величини також буде дуже мале, і так само кореляційний момент величин Х та Y теж буде близький до 0, хоч вони й будуть пов’язані між собою.

Крім того, розмірність кореляційного моменту дорівнює добутку розмірностей величин Х та Y, а його величина набуває різних значень залежно від того, у яких одиницях виміряні Х та Y.

Тобто за величиною кореляційного моменту не можна судити про силу зв’язку між величинами.

Для того, щоб позбутися цього недоліку, введено нову числову характеристику – коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнтом кореляції r_xy випадкових величин Х та Y називають відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин, а саме:

.

Зауважимо, що коефіцієнт кореляції r_xy – безрозмірна величина і не залежить від одиниць виміру.

Із визначення коефіцієнта кореляції випливає, що для незалежних випадкових величин він дорівнює нулю, а якщо r_xy≠0, то між випадковими величинами Х та Y існує лінійний зв’язок. Він тим тісніший, чим більше значення коефіцієнта кореляції r_xy. Залежність вважається сильною, якщо значення коефіцієнта кореляції більше за 0,7 (приклад див. на рис. 6.5) і слабкою, якщо коефіцієнт кореляції менший 0,3.

Таким чином, коефіцієнт кореляції має такі властивості:

1. За абсолютним значенням не перевищує одиниці:

2. Якщо r_xy > 0, то величини Х та Y додатно корельовані, тобто зі збільшенням значення Х збільшується Y (див. рис. 6.5).

3. Якщо r_xy < 0, то величини Х та Y від’ємно корельовані, тобто зі збільшенням значення Х зменшується Y.

4. Коли , то це означає, що між величинами Х та Y існує лінійна функціональна залежність. Це найсильніша лінійна залежність між випадковими величинами

5. Для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто r_xy = 0.

6. Коли близький до нуля, це означає що між величинами X та Y відсутня лінійна залежність (при цьому нелінійна залежність може існувати).

 

 

Рис. 6.5. Поле кореляції , якщо

Висновки

 

Випадкові величини бувають одновимірними та багатовимірними.

Для опису багатовимірних величин застосовують характеристики, що описують кожну із складових багатовимірної величини, а також характеристики, які описують їх взаємозв’язок.

Знаючи закон розподілу двовимірної випадкової величини, можна визначити закон розподілу її складових.

Для виявлення лінійної залежності між випадковими величинами використовують коефіцієнт кореляції.

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Які випадкові величини називаються двовимірними, тривимірними, ... , n-вимірними?

2. Дайте визначення закону розподілу двовимірної дискретної випадкової величини.

3. Як можна визначити закон розподілу ймовірності складових двовимірної неперервної випадкової величини відповідно до закону розподілу системи?

4. Дайте визначення функції розподілу двовимірної випадкової величини.

5. Назвіть властивості функції розподілу двовимірної випадкової величини.

6. Яким чином визначають ймовірність попадання випадкової величини у півсмугу?

7. Як можна визначити ймовірність попадання випадкової величини в прямокутник?

8. Яким чином визначають щільність спільного розподілу ймовірності двовимірної неперервної випадкової величини?

9. Як можна визначити щільність розподілу ймовірності складових двовимірної неперервної випадкової величини за спільною щільністю розподілу?

10. Яку властивість має щільність спільного розподілу ймовірностей двох незалежних випадкових величин?

11. Назвіть числові характеристики системи двох випадкових величин.

12. Дайте визначення кореляційного моменту.

13. Чому дорівнює кореляційний момент двох незалежних випадкових величин?

14. Дайте визначення коефіцієнту кореляції.

15. Які властивості має коефіцієнт кореляції?