Здавалка
Главная | Обратная связь

Статистичні оцінки параметрів розподілу



 

Статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають функцію від випадкових досліджуваних величин, яка дає наближене значення оцінюваного параметра.

Оцінки повинні бути незміщеними, ефективними та конзистентними (слушними, обґрунтованими).

Незміщеною називають статистичну оцінку q*, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру q, при будь-якому обсязі вибірки, тобто

М(q*)=q.

Зміщеною називають оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Ефективною називають статистичну оцінку, яка при даному обсязі вибірки має найменшу дисперсію.

Слушною називають статистичну оцінку, яка прямує за ймовірністю до оцінюваного параметра, коли n ® ¥ , тобто .

 

 

2.1. Генеральне та вибіркове середнє

 

Генеральним середнім називають середнє арифметичне значень властивості генеральної сукупності.

Якщо всі значення різні, то

,

де N – обсяг генеральної сукупності.

 

Якщо значення властивості х1, х2хk мають частоти N1, N2Nk, то

 

.

 

Вибірковим середнім називають середнє арифметичне значень властивості вибіркової сукупності.

Якщо всі значення х1хn різні, то

,

тут n – обсяг вибірки.

 

Якщо х1 має частоту n1, x2 – частоту n2, … xk – частоту nk відповідно, то

.

 

Груповим середнім називають середнє арифметичне значень властивості, які належать групі.

Загальним середнім називають середнє арифметичне значень властивості, що належать усій сукупності.

Загальне середнє дорівнює середньому арифметичному групових середніх, зважених за обсягами груп, а саме:

,

 

де Nj – обсяг j-ї групи, – групове середнє j-ї групи, N – обсяг вибірки.

Вибіркове середнє є незміщеною оцінкою генерального середнього. Крім того, воно є також слушною оцінкою. Чим більший обсяг вибірки, тим менше вибіркове середнє відрізняється від генерального середнього.

 

 

2.2. Генеральна та вибіркова дисперсії. Додавання дисперсій

Генеральною дисперсією DГ називають середнє арифметичне квадратів відхилень значень властивості генеральної сукупності від їхнього середнього значення .

Якщо усі значення x1xN властивості генеральної сукупності обсягом N різні, то

.

Якщо значення x1xk мають частоти відповідно N1, N2Nk, то

.

Генеральним середнім квадратичним відхиленням називають таку величину:

.

Вибірковою дисперсією DВ називають середнє арифметичне квадратів відхилень значень досліджуваної властивості від їхнього середнього значення .

Якщо всі значення різні, то

.

Якщо ж значення властивості x1, х2xk мають частоти n1, n2nk відповідно, то

.

Аналогічно теоретичним характеристикам, можна визначити також вибіркове середнє квадратичне відхилення за формулою:

.

 

П р и к л а д 7.4. Вибіркова сукупність задана таблицею розподілу:

 

xi
ni

 

Необхідно обчислити вибіркову дисперсію.

Р о з в ‘ я з у в а н н я

Обчислимо спочатку вибіркове середнє, використовуючи дані з таблиці розподілу:

 

 

На основі отриманого результату знайдемо вибіркову дисперсію:

 

 

Відповідь:

 

Дисперсію (вибіркову або генеральну) ми можемо обчислити також за такою формулою:

,

де – загальне середнє, – середнє квадратів значень властивості, що обчислюється за формулою: .

Нехай усі значення кількісної властивості Х сукупності (генеральної або вибіркової) поділено на k груп.

Груповою дисперсією називають дисперсію значень властивості, що належать групі, обчислену стосовно групового середнього, а саме:

,

де ni – частота значення xi, – групове середнє j-ї групи, – обсяг j-ї групи, .

Внутрішньогруповою дисперсією називають середнє арифметичне дисперсій, обчислене з урахуванням обсягів груп, тобто

,

де Nj – обсяг j-ї групи, – обсяг сукупності.

Міжгруповою дисперсією називають дисперсію групових середніх відносно загального середнього, а саме:

,

 

де – групове середнє j-ї групи, Nj – обсяг j-ї групи, – загальне середнє,

– обсяг сукупності .

Загальною дисперсією називають дисперсію значень властивості усієї сукупності відносно загального середнього, тобто

,

 

де ni – частота значення хі; – загальне середнє; n – обсяг сукупності.

П р и к л а д 7.5. Знайти групові, внутрішньогрупову, міжгрупову та загальну дисперсію сукупності, яка складається з двох груп:

 


Перша група

xi ni

.

Друга група

xi ni

 

.

 


Р о з в ‘ я з у в а н н я

Обчислимо групові середні для кожної з груп, а саме:

 

Користуючись отриманими результатами, знайдемо шукані групові дисперсії:

 

 

Тепер визначимо внутрішньогрупову дисперсію:

 

 

Для визначення міжгрупової дисперсії визначимо загальне середнє:

 

.

Тоді міжгрупова дисперсія

 

Нарешті обчислюємо загальну дисперсію:

 

 

Відносно розглянутих дисперсій справедлива сформульована нижче теорема.

 

Т е о р е м а 7.1.Якщо сукупність складається з кількох груп, то загальна дисперсія дорівнює сумі внутрішньогрупової та міжгрупової дисперсій.

 

Вибіркова дисперсія не буде незміщеною оцінкою генеральної дисперсії, оскільки .

Знаючи це, ми можемо змінити вибіркову дисперсію так, щоб оцінка була незміщеною. Тоді ми отримуємо виправлену дисперсію. Вона позначається через s2 і обчислюється таким чином:

або

Тоді для оцінки середнього квадратичного відхилення ми використовуємо виправлене середнє квадратичне відхилення, а саме:

 

.

 

Зауважимо, що при великих обсягах вибірки різниця між вибірковою та виправленою дисперсією (а значить і між відповідними середніми квадратичними відхиленнями) стає несуттєвою і нею можна знехтувати.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.