Задачі до розділу 7

1. З поточної продукції, яку виробляє прецизійний токарський автомат, на вибір було взято 200 валиків. Результати вимірювання відхилень діаметрів валиків від номіналу наведено в табл. 7.1. Знайти оцінки математичного сподівання, дисперсії, середнього квадратичного відхилення, побудувати емпіричну функцію розподілу й гістограму частот.

Розв’язування

Незміщена оцінка математичного сподівання дорівнює середньому арифметичному спостережуваних значень, а саме:

Зміщену оцінку дисперсії знайдемо як різницю вибіркового середнього квадратів значень властивості x й квадрата вибіркового середнього, тобто

Оцінка СКВ являє собою корінь квадратний із оцінки дисперсії, а саме:

Незміщена оцінка дисперсії .

Таблиця 7.1

Інтервал

–20 ¸ –15

–15 ¸ –10

–10 ¸ –5

–5 ¸ 0

0 ¸ 5

5 ¸ 10

10 ¸ 15

15 ¸ 20

20 ¸ 25

25 ¸ 30

Середнє значення відхилення (варіанти) x_i, мкм

–17,5

–12,5

–7,5

–2,5

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

Число вимірювань (частоти) n_i

Відносні частоти w_i

0,035

0,055

0,075

0,12

0,245

0,205

0,13

0,085

0,035

0,015

Емпірична функція для кожного значення аргумента х дорівнює відносній частоті такої події: спостережуване значення властивості менше, ніж аргумент функції, а саме:

де n_x – число варіант, менших за х, n – обсяг вибірки.

У нашому випадку функція набуває вигляду:

Графік емпіричної функції являє собою східчасту фігуру (див. рис. 7.3).

Рис. 7.3. Графік емпіричної функції розподілу (до задачі 1)

Гістограма частот також буде східчастою фігурою, яка складається із прямокутників, основи яких дорівнюють відстані між варіантами (у нашому випадку h = 5), а висоти дорівнюють відношенню частоти до довжини інтервалу, тобто n_i/h. Гістограму зображено на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Гістограма частот (до задачі 1)

2. Середнє значення відстані до орієнтира отримують за результатами чотирьох вимірів. Воно дорівнює 2250 м, СКВ помилки далекоміра дорівнює 59,3 м. Визначити з надійністю 0,95 довірчий інтервал для оцінки відстані до орієнтира, припускаючи, що похибка виміру розподілена нормально.

Розв’язування

Оскільки ВВ розподілена нормально, а її СКВ відоме, то для оцінки математичного сподівання скористаємося такою формулою:

Тут t – нормована нормально розподілена ВВ; вибіркове середнє вимірів (точкова оцінка математичного сподівання) = 2250 м; середнє квадратичне відхилення ВВ Х = 59,3 м; обсяг вибірки = 4; надійність = 0,95.

За табл. 2 додатка 1 визначимо аргумент t функції Лапласа, а саме:

тоді .

Тепер знайдемо довірчий інтервал:

;

Відповідь: .

3. Під час контрольних випробувань 16 освітлювальних ламп було обчислено оцінки математичного сподівання й середнього квадратичного відхилення їхнього терміну служби, які виявилися такими: = 3000 год й s = 20 год. Уважаючи, що термін служби кожної лампи – нормально розподілена ВВ, знайти: а) довірчий інтервал для МС й СКВ, що з надійністю 0,9 буде покривати названі параметри; б) із якою ймовірністю можна стверджувати, що абсолютне значення помилки обчислення математичного сподівання не перевершить 10 год, а помилка у визначенні СКВ буде меншою 2 год.

Розв’язування

а) Визначимо довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання при невідомому значенні . Для цього скористаємося такою формулою:

Тут – ВВ розподілена за законом Стьюдента; її знаходимо з табл. 3 додатка 1 для відомих значень обсягу вибірки n й надійності , а саме: .

Тепер обчислимо довірчий інтервал для МС:

Визначаючи довірчий інтервал для оцінки СКВ , скористаємося такою формулою:

Тут – випадкова величина, її значення знаходимо з табл. 4 додатка 1 для відомих величин й n:

Отже , довірчий інтервал для СКВ набуває такого вигляду:

б) Тепер розв’яжемо обернену задачу: необхідно визначити ймовірності й , з якими виконуються такі нерівності:

(7.2)

(7.3)

З виразу (7.2) отримуємо, що

;

І у таблиці розподілу Стьюдента (табл. 3 додатка 1) знайдемо, що .

З виразу (7.3) отримуємо, що

А з табл. 4 додатка 1 встановлюємо, що .

Відповідь: а) , ; б) , .

4. Обробляючи дані 30 випробувань спортивного катера отримали такі значення його максимальної швидкості: 27; 29,5; 32,2; 34,1; 35,8; 31,5; 32,4; 29,7; 34,2; 36,2; 30,5; 31,4; 32,4; 31,7; 34,3; 33,2; 28,4; 27,5; 29,3; 30,1; 31,5; 32; 32,1; 34,5; 33,3; 32,2; 30,6; 29,8; 31,1; 32,5 м/с. Потрібно скласти статистичний розподіл частот, поділивши діапазон зміни швидкості на 5 інтервалів. Крім того, необхідно знайти оцінки математичного сподівання, дисперсії, СКВ; побудувати емпіричну функцію розподілу частот і гістограму відносних частот.

Відповідь:

5. Середня квадратична помилка висотоміра = 15 м. Скільки потрібно встановити таких приладів на літаку, щоб з надійністю 0,99 помилка середньої висоти не перевищувала б за абсолютним значенням 25 м, припускаючи нормальний розподіл ВВ Х ?

Відповідь: більше трьох.

6. На підставі 100 випробувань було визначено, що в середньому тривалість виготовлення однієї деталі = 5,5 с, причому виправлена оцінка СКВ цієї величини = 1,7 с. Припускаючи, що тривалість виготовлення деталей є нормально розподіленою ВВ, визначити межі, у яких перебувають значення математичного сподівання й СКВ з надійністю 0,95.

Відповідь: ;

7. Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює нулю, а випадкові помилки розподілені нормально із середнім квадратичним відхиленням 29,6 м. Скільки потрібно зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з точністю 15 м при надійності 0,9?

Відповідь: .

8. Зроблено 5 незалежних вимірів для визначення величини заряду електрона. Випробування дали такі результати (в абсолютних електростатичних одиницях):

Вважаючи, що результати вимірів підпорядковуються нормальному закону розподілу, визначити довірчий інтервал для заряду електрона з надійністю 0,99.

Відповідь: .

9. Унаслідок 15 незалежних вимірів було визначено точкову оцінку математичного сподівання максимальної швидкості літака . Вважаючи що швидкість літака являє собою нормально розподілену ВВ із відомою дисперсією, що дорівнює 121 м²/ с² , знайти довірчу ймовірність, з якою можна стверджувати, що точність визначення математичного сподівання не нижча, від 2 м / с .

Відповідь: 0,516.

10. Систематичні помилки вимірювального приладу дорівнюють нулю, а випадкові розподілені нормально. При цьому СКВ = 29,6 м. Необхідно, щоб абсолютне значення різниці між середнім арифметичним результатів вимірів і дійсним значенням вимірюваної величини не перевищувало 10 м. Визначити, ймовірність виконання цієї умови, якщо передбачено таку кількість спостережень: а) 3; б) 5; в) 10; г) 25 (побудувати графік).

Відповідь:а) 0,44; б) 0,55; в) 0,71; г) 0,91.

⇐ Предыдущая 23 24 25 26 272829 30 31 32 Следующая ⇒