 |
|
Відшукування параметрів вибіркового рівняння регресії за згрупованими даними. Вибірковий коефіцієнт кореляції
Нехай у результаті випробування отримано велику кількість даних (практично для задовільної оцінки параметрів необхідно не менше 50 спостережень), серед них є ті, що повторюються, і вони згруповані у вигляді кореляційної таблиці.
Будову кореляційної таблиці розглянемо на прикладі
 Х
Y
| 1,5 | 2,5 | ny | |
| – | ||||
| – | ||||
| nx | n = 50 |
У першому рядку показано можливі значення величини Х, у першому стовпці – можливі значення величини Y. На перетині рядків та стовпців перебувають частоти nxy спостережуваних пар значень. Наприклад, частота 15 показує, що пара (1,5; 4) спостерігалась 15 разів. Риска означає, що відповідна пара не спостерігалась жодного разу.
В останньому стовпці записано суми частот рядків. Наприклад, сума частот першого рядка виділеного прямокутника дорівнює 17. Це свідчить про те, що значення величини Y, яке дорівнює 4, спостерігалося 17 разів (при цьому величина Х набувала різних значень). В останньому рядку записано суми частот стовпців. Ці числа показують, скільки разів спостерігалося відповідне значення величини Х. У клітинці, розташованій у правому нижньому куті таблиці, записано суму всіх частот (загальна кількість спостережень). Очевидно, що 
.
У даному прикладі
та 
Вибіркове рівняння прямої лінії регресії для згрупованих даних можна записати в такому вигляді:
,
де 
– коефіцієнт регресії;
.
Вибірковим коефіцієнтом кореляції називають величину rb, яка обчислюється за такою формулою:
Вибірковий коефіцієнт кореляції пов’язаний з коефіцієнтом регресії таким чином:
Використовуючи цю залежність, вибіркове рівняння прямої лінії регресії можна записати у такому вигляді:
.
Аналогічно вибіркове рівняння прямої лінії регресії Х на Y записують таким чином:
.
Розглянемо тепер вибірковий коефіцієнт кореляції. Відомо, що коли величини Х та Y незалежні, то коефіцієнт кореляції rb = 0. Якщо 
то Х та Y пов’язані лінійною функціональною залежністю, тобто коефіцієнт кореляції є мірою сили (тісноти) лінійного зв’язку між Х та Y. Зауважимо, що величина вибіркового коефіцієнта кореляції залежить від обсягу вибірки. Наприклад, коли
(8.5)
то вважають, що вибірки виявляють статистичну залежність між Х та Y, якщо ж нерівність (8.5) не виконується, то вважають, що вибірки не виявляють статистичної залежності.
Зауважимо, також, що вибірковий коефіцієнт кореляції являє собою оцінку коефіцієнта кореляції генеральної сукупності.