 |
|
Міра будь-якого кореляційного зв’язку
Нехай усі значення характеристики Y поділені на групи. Тоді загальну дисперсію ми можемо подати у такому вигляді:
Dзаг= Dвигр+ Dміжгр,
і мають місце такі твердження:
1. Якщовеличина Y пов’язана з ознакою Х функціональним зв’язком, то
.
2. Якщо величина Y пов’язана з ознакою Х кореляційним зв’язком, то
.
Вибірковим кореляційним відношенням Y до Х ( позначається 
) називають відношення міжгрупового середнього квадратичного відхилення ознаки Y до загального середньоквадратичного відхилення:
або 
.
Аналогічно можна визначити вибіркове кореляційне відношення Х до Y, а саме:
.
Кореляційне відношення η є мірою будь-якого, у тому числі й нелінійного, зв’язку. Воно має такі властивості:
1. Набуває значення з інтервалу 
.
2. Якщо η = 0, то кореляційної залежності між величинами Y та Х не існує.
3. Якщо η = 1, то величина Y пов’язана з ознакою Х функціональною залежністю.
4. Вибіркове кореляційне відношення не менше абсолютної величини вибіркового коефіцієнта кореляції, тобто
η ≥ |rb|.
5. Якщо η = |rb|, то має місце точна лінійна кореляційна залежність.
Зауважимо, що хоч кореляційне відношення і є мірою будь-якого зв’язку, але воно не дозволяє визначити, наскільки близько розміщуються точки, знайдені за кривою спостережень до кривої певного виду, наприклад до параболи, гіперболи і т. ін.
Для встановлення вигляду функції регресії на координатній площині позначають точки 
(будують поле кореляції) і за їх розташуванням визначають можливий вигляд рівняння регресії.
Якщо лінія регресії: 
або 
, зображується деякою кривою, то кореляцію називають криволінійною.
Розглянемо кореляцію другого порядку, вважаючи, що дані, отримані внаслідок n спостережень, дозволяють визначити саме таку залежність.
Припустимо, що вибіркове рівняння регресії Y на Х має вигляд параболи:
де А, В, С – невідомі параметри.
Для визначення конкретних значень параметрів А, В, С можна, як і у випадку лінійної регресії, скористатися методом найменших квадратів для отримання системи лінійних рівнянь відносно параметрів А, В, С. Підставляючи обчислені значення у вхідні рівняння, будемо мати шукане рівняння регресії.
Висновки
Випадкові величини можуть бути незалежними або залежними. Залежність між випадковими величинами може бути функціональною або статистичною. Унаслідок дослідження статистичної залежності виникають два завдання:
- завдання кореляції, що полягає у виявленні існування зв’язку між величинами та сили цього зв’язку.
- завдання регресії, що має на меті визначення форми цього зв’язку.
Задача кореляції вирішується обчисленням вибіркового коефіцієнта кореляції та кореляційного відношення. Вибірковий коефіцієнт кореляції дозволяє визначити існування та силу лінійної статистичної залежності. Кореляційне відношення використовується для виявлення існування нелінійної залежності між величинами.
Для вирішення завдання регресії проводиться аналіз експериментальних даних (визначається вид рівняння регресії), а потім конкретні значення коефіцієнтів регресії обчислюються методом найменших квадратів.
Питання для самоконтролю
1. Які випадкові величини називають незалежними? залежними?
2. Що означає функціональна залежність між величинами?
3. Що означає статистична залежність?
4. Що означає кореляційна залежність?
5. У чому полягає задача кореляції?
6. У чому полягає задача регресії?
7. Дайте визначення умовного середнього.
8. У чому полягає суть методу найменших квадратів?
9. Що характеризує вибірковий коефіцієнт кореляції?
10. Яким чином пов’язані між собою вибіркові коефіцієнти кореляції і регресії?
11. Що характеризує вибіркове кореляційне відношення?
12. Яким чином обчислюється вибіркове кореляційне відношення?
13. Які властивості має вибіркове кореляційне відношення?
14. Як вибіркове кореляційне відношення пов’язується з вибірковим коефіцієнтом кореляції?