 |
|
Задачі до розділу 8
1. У ході експерименту під дією енергії E деяке тіло проникало в перешкоду на глибину h. Дослідити залежність між цими величинами. Експериментальні дані наведено в табл. 8.2.
Таблиця 8.2
| Номер досліду i | |||||||||||||
Енергія,  , 
| |||||||||||||
| Глибина проникнення, hi, см |
Потрібно визначити рівняння прямої лінії регресії 
й коефіцієнт кореляції 
.
Розв’язування
Відповідно до методу найменших квадратів (МНК) необхідно відшукати такі коефіцієнти 
й 
, щоб критерій J набув мінімального значення, тобто
Ця оптимізаційна задача зводиться до розв’язування системи двох алгебраїчних лінійних рівнянь, а саме:
Обчислимо коефіцієнти системи, використовуючи такі вихідні дані: 
.
Тоді система набуває такого вигляду:
Розв’язуючи її, отримуємо, що 
, тобто рівняння прямої лінії регресії набуває такого вигляду:
.
Для визначення вибіркового коефіцієнта кореляції розрахуємо вибіркові дисперсії та вибіркові СКВ, а саме:
Розрахуємо значення вибіркового коефіцієнта кореляції таким чином:
Відповідь: , 
2. Проведено серію випробувань з метою виміру перевантаження авіабомби, що проникає в ґрунт з різною зустрічною швидкістю. Отримані значення перевантаження N залежно від швидкості v наведено в табл. 8.3.
Таблиця 8.3
| Номер досліду | ||||||||||||||
| Швидкість v, м/с | ||||||||||||||
| Переванта-ження N, кг |
За допомогою методу найменших квадратів знайти квадратичну залежність між величинами v та N, тобто 
.
Розв’язування
Критерій оптимальності в цьому випадку набуває такого вигляду:
Розв’язуючи цю оптимізаційну задачу, приходимо до системи рівнянь для визначення параметрів лінії регресії a, b, c, а саме:
Унаслідок перетворень система набуває такого вигляду:
Коефіцієнти цієї системи обчислимо за вихідними даними. Для зручності обчислень змінимо масштаби вимірювань, виражаючи швидкість v у сотнях м/с (помножити на 10-2), а перевантаження N – у тисячах одиниць (помножити на 10-3 ).
Записуємо систему в прийнятих умовних одиницях:
У результаті розв’язування системи отримуємо, що 
Отже, рівняння лінії регресії має такий вигляд: 
.
Відповідь: .
3. Досліджується залежність температури склепіння печі 
від витрати повітря, яке надходить у камеру згоряння 
(м3/хв). Діапазон зміни параметра Q і температури t розбито на шість інтервалів. У результаті досліджень отримано 200 пар відповідних значень 
що наведені в табл. 8.4. Потрібно оцінити ступінь статистичного зв'язку між витратою повітря Q і температурою t за допомогою кореляційного відношення.
Розв’язування
Будемо вважати, що вибірку обсягом 200 значень випадкової величини розбито на шість груп, які відповідають шести інтервалам зміни параметра Q.
Таблиця 8.4
| група | 
 м3/хв.
| 800–850 | 850–900 | 900–950 | 950–1000 | 1000–1050 | 1050–1100 | Обсяг групи |
| 2÷2,2 | ||||||||
| 2,2÷2,4 | ||||||||
| 2,4÷2,6 | ||||||||
| 2,6÷2,8 | ||||||||
| 2,8÷3 | ||||||||
| 3÷3,2 |
Далі виконаємо поетапні обчислення.
1. Знайдемо групові й вибіркове середні:
,
,
,
,
,
,
.
2. Проведемо розрахунок групових і загальної вибіркових дисперсій:
.
3. Обчислимо міжгрупову й внутрішньогрупову дисперсії:
4. Знайдемо кореляційне відношення:
Відповідь: 
4. Напруга зарядженого конденсатора 
. З часом конденсатор розряджається під дією деякого опору. Залежність напруги на конденсаторі U від часу t реєструється на інтервалі від 0 до 10 с через кожну секунду. Напруга вимірюється з точністю до 5 В. Результати вимірювань наведено в табл. 8.5.
Таблиця 8.5.
| Номер виміру i | |||||||||||
| Час ti, c | |||||||||||
| Напруга Ui , B |
Згідно з теоретичними даними, залежність напруги від часу повинна мати такий вигляд: 
.
Методом найменших квадратів потрібно обчислити значення параметра 
.
Відповідь: 
5. Висота h падіння деякого тіла за час t визначається за такою формулою:
,
де – шлях, пройдений тілом до моменту початку відліку часу; – швидкість тіла в момент початку відліку часу; 
– половина прискорення сили тяжіння 
.
Обчислити коефіцієнти 
, , методом найменших квадратів й оцінити точність визначення прискорення сили тяжіння на основі серії вимірів, результати яких наведено в табл. 8.6.
Таблиця 8.6
| t, c | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| h, см | 11,86 | 15,67 | 20,6 | 26,69 | 33,71 | 41,93 | 51,13 |
| t, c | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| h, см | 61,49 | 72,9 | 85,44 | 99,08 | 113,77 | 129,54 | 146,48 |
Відповідь: = 9,14; = 65,89; = 489,28.
6. Величина зношування різця 
, зумовлена його товщиною (мм), залежить від часу його роботи 
( год). Результати її вимірів подано в табл. 8.7. Визначити рівняння прямої лінії регресії: 
, а також величину коефіцієнта кореляції 
.
Таблиця 8.7
| t, годин | |||||||||
| y, мм | 29,1 | 28,4 | 28,1 | 27,7 | 27,5 | 27,2 | |||
| t, годин | |||||||||
| y, мм | 26,8 | 26,5 | 26,3 | 26,1 | 25,7 | 25,3 | 24,8 |
Відповідь: y = 29,38 – 0,3012 t; = – 0,983.
7. Виконували дослідження залежності потоку машин шт/хв на деякій ділянці руху від часу доби t. Для цього добу розподілили на 6 інтервалів, а діапазон зміни потоку – на 8 інтервалів. Результати 170 вимірів наведено в табл. 8.8, де кожен рядок відповідає часовому інтервалу, а кожен стовпець – середині інтервалу потоку машин Q. Потрібно розрахувати кореляційне відношення для залежності потоку Q від часу t.
Таблиця 8.8
 
t
| Обсяг групи | ||||||||
Відповідь: 
.
8. Собівартість y (в дол.) одного примірника книги залежно від тиражу x (тис. прим.) характеризується даними, що зібрані видавництвом протягом ряду років (табл. 8.9). За допомогою МНК підібрати коефіцієнти залежності собівартості від тиражу: 
.
Таблиця 8.9
| x, тис. прим. | ||||||||||
| y, дол. | 10,15 | 5,52 | 4,08 | 2,85 | 2,11 | 1,62 | 1,41 | 1,3 | 1,21 | 1,15 |
Відповідь: = 1,1188; = 8,9734.
9. У результаті експерименту отримано значення величини стиснення сталевого бруска x (мм) під дією навантаження y (кг), які внесено в табл. 8.10. Визначити коефіцієнти лінійної залежності: 
, відповідно до закону Гука, а також коефіцієнт кореляції .
Таблиця 8.10
| Номер експерименту, i | |||||
| Стиснення x, мм | |||||
| Навантаження y, кг |
Відповідь: = 14,892; = 6,07067; = 0,99772 .
10. Досліджується залежність питомого прибутку підприємства Р (прибуток отримано від реалізації одиниці продукції) від ціни С основного сировинного компонента. Результати досліджень зведено в табл. 8.11, причому в реальному діапазоні зміни параметрів ціну сировини С поділили на 6 інтервалів, а питомий прибуток Р – на п’ять. Рядки й стовпці відповідають серединам інтервалів. Потрібно оцінити ступінь статистичного зв'язку між величинами Р і С за допомогою кореляційного відношення.
Таблиця 8.11
| P C | Обсяг групи | |||||
Відповідь: 
.