Здавалка
Главная | Обратная связь

Гіпотези про параметри нормального розподілу



 

 

У практичній діяльності часто виникають питання, які можна сформулювати у вигляді задач на перевірку статистичних гіпотез про параметри нормального розподілу. Розглянемо деякі з цих гіпотез.

 

2.1. Перевірка гіпотези H0: a = a0

 

Постановка задачі. Нехай маємо вибірку x1, x2, x3, … xn з нормально розподіленої сукупності. Параметри a та σ невідомі. Відносно невідомого, але цілком визначеного параметра a висувається гіпотеза

Н0: a = a0.

Тобто, вона припускає, що параметр a нормального розподілу, з якого взято вибірку, дорівнює a0.

При цьому можуть бути розглянуті такі альтернативи:

1) A ≠ a0,тобто, якщо гіпотеза Н0: a = a0 не підтверджується, то a > a0або a < a0 (двобічна альтернатива);

2) a > a0,тобто, якщо гіпотеза Н0: a = a0 не підтверджується, то a > a0(правобічна альтернатива);

3) a < a0, тобто, якщо гіпотеза Н0: a = a0 не підтверджується, то a < a0(лівобічна альтернатива).

 

Яку альтернативу вибрати, вирішує дослідник, адже для кожної задачі вона різна.

За даними вибірки потрібно вирішити: відхиляти гіпотезу Н0, чи ні.

 

Для розв’язування задачі на перевірку гіпотези H0: a = a0, використовують критерій Стьюдента.

Якщо гіпотезу H0: a = a0 , відхиляти, коли

,

і не відхиляти в протилежному випадку, то з імовірністю 2α гіпотеза H0 буде відхилятися, коли вона правильна. (це критерій для двобічної альтернативи).

Тут величина являє собою верхню границю t-розподілу (розподілу Стьюдента) з (n – 1) ступенями вільності.

Якщо розглядається гіпотеза H0: a = a0, при однобічній альтернативі, наприклад, якщо H1 : a > a, то коли , гіпотеза відхиляється, в протилежному випадку – ні. Рівень значущості для однобічного критерію дорівнює α.

Лівобічна альтернатива будується аналогічно.

П р и к л а д 9.1. На виробництві лічильники електроенергії, що мають обертовий диск, були відрегульовані так, щоб їхня робота була синхронною із роботою стандартного лічильника. Перевірка 10 лічильників, яка полягала у визначенні сталої величини їх показів за допомогою точних ватметрів і секундомірів, дала такі результати:

 

Номер Значення Номер Значення
лічильника сталої лічильника сталої
0,983 0,988
1,002 0,994
0,998 0,991
0,996 1,005
1,003 0,986

 

Стандартний лічильник характеризує стала 1,000.

Визначити, чи можна відхилення від стандарту розглядати як випадкові, чи, навпаки, результати вказують на те, що сталі величини показів відрегульованих лічильників систематично відрізняються від сталої стандартного лічильника?

Р о з в ’ я з у в а н н я

Застосовуючи терміни перевірки статистичних гіпотез, задачу можна сформулювати таким чином: маємо 10 незалежних спостережень випадкової величини з нормального розподілу, але його параметри a та σ невідомі. Відносно параметра a цього розподілу висувається гіпотеза H0: a = a0. За альтернативу в даному випадку оберемо гіпотезу H1: a ≠ a0 (двобічна альтернатива), оскільки відхилення від стандарту можуть бути в обидва боки. Необхідно перевірити гіпотезу H0.

Згідно з критерієм Стьюдента обчислюємо спостережуване значення критерію , де . У нашому випадку n = 10, a0 = 1,000 ,

;

 

 

.

 

Тоді = 2,263.

Виберемо такий рівень значущості: α = 0,025, і з табл. 7 додатка 1 отримаємо критичне значення: .

Отже, і, згідно з критерієм Стьюдента, гіпотеза H0: a = a0,коли рівень значущості 2α = 0,05 (оскільки альтернатива двобічна), відхиляється. Таким чином гіпотеза про те, що вибірку одержано з нормального розподілу з середнім 1,000 суперечить наявним даним.

Тобто, припущення про те, що відхилення від стандарту можна вважати випадковими, суперечить фактичним даним і сталі величини показів відрегульованих лічильників систематично відрізняються від сталої стандартного лічильника.

 

2.2. Перевірка гіпотези H0: ax – ay= a0

 

Постановка задачі. Дано вибірки x1, x2, x3, … xn та y1, y2, y3, … ym з нормально розподіленої сукупності. Параметри ax і ay та σ невідомі, причому параметр σ однаковий для обох вибірок. Відносно параметрів ax та ay висувається така гіпотеза:

H0: ax ay = a0.

Тобто різниця між параметрами цих двох розподілів являє собою сталу величину. Зокрема, коли a0 = 0, гіпотеза H0: axay = a0полягає в тому, що параметри ax та ay рівні.

Альтернативи в цьому випадку також можуть бути двобічними і однобічними, а саме:

1) ax ay ≠ a0, тобто якщо гіпотеза H0: ax ay = a0 не підтверджується, то ax ay > a0або ax ay < a0 (двобічна альтернатива);

2) ax ay > a0,тобто якщо гіпотеза H0: ax ay = a0 не підтверджується, то ax ay > a0(правобічна альтернатива);

3) ax ay < a0, тобто якщо гіпотеза H0: ax ay = a0 не підтверджується, то ax ay < a0 (лівобічна альтернатива).

Необхідно за даними вибірок вирішити: відхиляти гіпотезу Н0, чи ні.

Для розв’язування задачі на перевірку гіпотези H0: ax ay = a0 використовують критерій Стьюдента.

Якщо гіпотезу H0: ax ay = a0 відхиляти, коли

і не відхиляти в протилежному випадку, то з імовірністю 2α гіпотеза H0 буде відхилятися, коли вона правильна (це критерій для двобічної альтернативи).

Тут величина являє собою верхню границю t-розподілу з (n + m – 2) ступенями вільності; ; та – вибіркові середні вибірок x1, x2, x3, … xn та y1, y2, y3, … ym відповідно;

,

де , – виправлені середні квадратичні відхилення для вибірок x та y.

Якщо розглядається гіпотеза H0: a = a0, при однобічній альтернативі, наприклад, якщо H1:a > a0, то коли , гіпотеза відхиляється, в протилежному випадку – ні. У випадку лівобічної альтернативи H1:a < a0, гіпотезу відхиляють, коли , і приймають у протилежному разі. При цьому рівень значущості однобічного критерію дорівнює α.

 

П р и к л а д 9.2. Група з 10 школярів протягом літніх канікул перебувала в спортивному таборі. До і після сезону в них визначали місткість легенів (у мілілітрах). За результатами вимірювань необхідно було встановити, чи істотно змінився цей показник під впливом інтенсивних фізичних вправ.

Результати вимірів до експерименту : 3400, 3600, 3000, 3500, 2900, 3100, 3200, 3400, 3200, 3400 мл.

Після експерименту : 3800, 3700, 3300, 3600, 3100, 3200, 3200, 3300, 3500, 3600 мл.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Сформулюємо цю задачу, використовуючи терміни перевірки статистичних гіпотез. Маємо вибірки незалежних спостережень випадкових величин X (x1, x2, x3, … xn) та Y (y1, y2, y3, … ym), взятих із нормального розподілу, що мають параметри (ax , σ) та (ay, σ) відповідно ( при цьому параметри ax , ay та σ невідомі). Відносно невідомих, але цілком визначених, параметрів ax і ay висувається гіпотеза H0: ax ay = a0, де a0 = 0. Тобто H0: ax = ay. За альтернативну в даному випадку виберемо гіпотезу H1: ax < ay (лівобічна альтернатива), оскільки в результаті фізичних вправ місткість легенів повинна збільшиться. Необхідно перевірити гіпотезу H0. Відхилення цієї гіпотези будемо інтерпретувати як підтвердження зміни місткості легенів.

Згідно з критерієм Стьюдента для перевірки гіпотези H0: ax = ay при альтернативі H1: ax < ay обчислюємо спостережуване значення критерію за такою формулою: .

У нашому випадку n = 10, m = 10.

Обчислимо вибіркові середні:

Відповідні виправлені середні квадратичні відхилення набувають таких значень:

,

 

.

 

Тоді

 

.

 

s = 233,57.

Підставляємо обчислені величини у формулу й отримуємо спостережуване значення критерію:

Приймемо, що рівень значущості α = 0,025. Граничну точку критерію Стьюдента для цього рівня, коли кількість ступенів вільності n + m – 2 = 18, знаходимо за табл. 7 додатка 1: .

Отже, і згідно з критерієм Стьюдента (для лівобічної альтернативи) гіпотеза H0: ax = ay на рівні значущості 0,025 не відхиляється. Тобто, гіпотеза про те, що вибірки мають однакові середні, не суперечить наявним даним. Іншими словами, припущення про те, що місткість легенів школярів істотно змінилася під впливом інтенсивних фізичних вправ, суперечить фактичним даним.

 

2.3. Перевірка гіпотези

Розглянемо таку задачу.

Нехай маємо вибірку x1, x2, x3, … xn з нормально розподіленої сукупності. Параметри (a , σ ) цього розподілу невідомі. Відносно параметра σ висувається така гіпотеза:

,

тобто гіпотеза про те, що вибірку одержано з нормального розподілу, який має дисперсію .

Необхідно за даними вибірки вирішити: відхиляти гіпотезу Н0 чи ні.

Альтернативними гіпотезі , можуть бути такі:

1. , тобто якщо припущення: , не підтверджується, то або (двобічна альтернатива);

2. , тобто коли гіпотеза: , не підтверджується, то (правобічна альтернатива);

3. , тобто якщо припущення: , не підтверджується, то (лівобічна альтернатива).

Для перевірки висунутої гіпотези застосовують критерій .

Якщо гіпотезу відхиляти, коли

,

і не відхиляти в протилежному випадку, то з ймовірністю 2α гіпотеза H0 буде відхилятися, коли вона правильна (це критерій для двобічної альтернативи).

Якщо альтернатива однобічна, наприклад, , то величину порівнюємо з величиною (правою границею інтервалу), тобто коли

,

то гіпотеза H0 відхиляється, а в протилежному випадку – приймається ( при цьому рівень значущості однобічного критерію дорівнює α).

Для лівобічної альтернативи порівняння відповідно проводиться із лівою границею інтервалу.

 

2.4. Перевірка гіпотези

 

У практиці задача на порівняння дисперсій виникає, коли потрібно зіставити точність приладів, інструментів, методів виміру і т. ін. Очевидно, що доцільно віддавати перевагу тому приладу, інструменту або методу, який дає найменше розсіювання результатів виміру, тобто найменшу дисперсію.

Сформулюємо задачу.

Припустимо, що генеральні сукупності Х та Y розподілені нормально. Параметри (ax, σx ) і (ay, σy)цих розподілів невідомі. Із сукупностей взято незалежні вибірки x1, x2, x3, … xn та y1, y2, y3, … ym обсяги яких n та m відповідно. Відносно параметрів σx та σy висувається така гіпотеза:

.

Тобто припускаємо, що генеральні дисперсії цих сукупностей рівні між собою.

Необхідно за даними вибірок вирішити: відхиляти гіпотезу Н0 чи ні.

За критерій перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій візьмемо відношення виправленої дисперсії x до виправленої дисперсії y, тобто таку випадкову величину:

Ця випадкова величина за умовами правильності нульової гіпотези має розподіл Фішера – Снедекора.

Критична область будується залежно від вигляду альтернативної гіпотези.

Розглянемо випадок двобічної альтернативи:

Нульова гіпотеза .

Альтернативна гіпотеза .

У цьому випадку будують двобічну критичну область.

П р а в и л о . Для того, щоб за даного рівня значущості 2a перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій нормального розподілу сукупностей при альтернативній гіпотезі , необхідно обчислити відношення виправленої дисперсії вибірки X до виправленої дисперсії вибірки Y, тобто . При цьому, коли

то гіпотезу відхиляють, а з імовірністю 2a така гіпотеза буде відхилятися, коли вона правильна.

Значення величин знаходять у таблиці критичних точок розподілу Фішера – Снедекора (табл. 6 додатка 1) для рівня значущості a (удвічі менше потрібного) й ступенів вільності (n – 1)та (m – 1).

П р и к л а д 9.3

Дано дві незалежні вибірки, що взято з нормальних генеральних сукупностей Х та Y. Обсяги вибірок: n = 10 та m = 18. За даними вибірок обчислено виправлені дисперсії: ; . З огляду на рівень значущості 0,1, перевірити нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсії при альтернативній гіпотезі .

Р о з в ’ я з у в а н н я

Обчислимо відношення виправленої дисперсії вибірки Х до виправленої дисперсії вибірки Y, а саме:

Fспост = 1,23/0,41 = 3.

За умовами альтернативна гіпотеза , тому критична область – двобічна.

За табл. 6 додатка 1, для рівня значущості, що вдвічі менший від даного, тобто коли a = 0,1/2 = 0,05 , а число ступенів вільності (n – 1) = 10 – 1 = 9 та (m – 1) = 18 – 1 = 17, знаходимо критичні точки, а саме: F0,05;9;17 = 2,50, F0,05;17;9 = 2,96.

Оскільки , тонульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій відкидаємо. Іншими словами, вибіркові виправлені дисперсії відрізняються одна від одної досить суттєво.

 

Розглянемо випадок правобічної альтернативи. У цьому разі

нульова гіпотеза ;

альтернативна гіпотеза .

І відповідно будують однобічну, зокрема правобічну, критичну область, виходячи з вимоги, що

P ( F > Fкр (a, k1, k2) ) = a.

Критичну точку Fkp(a, k1, k2) знаходять за таблицею критичних точок розподілу Фішера – Снедекора, і тоді критична область визначається рівністю: F = Fkp, а область прийняття нульової гіпотези – нерівністю F < Fkp.

П р а в и л о. Для того, щоб за даним рівнем значущості перевірити нульову гіпотезу , про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей при альтернативній гіпотезі , необхідно обчислити відношення виправленої дисперсії X до виправленої дисперсії Y, тобто при цьому, коли

то гіпотезу відхиляють, у протилежному випадку приймають (рівень значущості для однобічного критерію дорівнює α)

 

П р и к л а д 9.4

Із нормальних генеральних сукупностей Х та Y взято дві незалежні вибірки, обсяги яких n = 12 та m = 15 відповідно, а обчислені виправлені вибіркові дисперсії: та . За умови, що рівень значущості становить 0,05, перевірити нульову гіпотезу , про рівність генеральних дисперсій при альтернативній гіпотезі .

 

Р о з в ’ я з у в а н н я

Знайдемо відношення виправленої дисперсії X до виправленої дисперсії Y, тобто .

Альтернативна гіпотеза , тому критична область – правобічна.

За табл. 6 додатка 1, коли рівень значущості a = 0,05 і число ступенів вільності: n – 1= 12 – 1 = 11 та m – 1 = 15 – 1 = 14, знаходимо критичну точку, а саме:

F0,05;11;14 = 2,56.

 

Оскільки Fспост < Fkp, то нульова гіпотеза приймається, тобто генеральні дисперсії сукупностей Х та Y рівні між собою.

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.