Задачі до розділу 9

1. Для порівняння властивостей двох мікрометрів з їх застосуванням було проведено виміри діаметра 25 гвинтів. Отримані результати подано нижче.

Результати вимірів мікрометром 1(вибірка Х¹, ): 289; 291; 293; 283; 291; 278; 292; 284; 294; 277; 296; 280; 279 290; 294; 279; 285; 285; 295; 285; 278; 296; 295; 290; 278 мкм.

Результати вимірів мікрометром 2 (вибірка Х², ): 289; 288; 280; 279; 269; 279; 290; 275; 270; 284; 285; 280; 272 278; 289; 275; 276; 285; 290; 278; 279; 270; 270; 288; 282 мкм.

Ціна поділки мікрометрів 0,01 мм. З огляду на те, що рівень значущості , потрібно встановити, чи є істотною розбіжність між вимірювальними властивостями мікрометрів 1 і 2.

Розв’язування

Вибірки Х¹і Х²залежні, тому що діаметр кожного із гвинтів вимірюється як першим, так і другим мікрометром. У цьому випадку необхідно ввести допоміжну випадкову величину d, яка відображає різницю результатів вимірів: . Її значення наведено нижче.

d: 0; 3; 13; 4; 22; – 1; 2; 9; 24; – 7; 11; 0; 7; 12; 5; 4; 9; 0; 5; 7; – 1; 26; 25; 2; – 4.

Потрібно перевірити гіпотезу про рівність математичного сподівання ВB d нулю, тобто вихідне завдання зводиться до такої задачі перевірки статистичних гіпотез:

При цьому дисперсія ВB d невідома. Знайдемо статистичні оцінки ВB d – вибіркове середнє й виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Обчислимо спостережуване значення критерію:

Критерій t має розподіл Стьюдента з (n – 1) ступенями вільності. Критичне значення критерію знайдемо з табл. 7 додатка 1, враховуючи, що для двобічної альтернативи рівень значущості потрібно зменшити вдвічі: .

Оскільки , то гіпотеза відкидається, тобто вимірювальні властивості мікрометрів 1 й 2 істотно відрізняються між собою.

Відповідь: вимірювальні властивості мікрометрів 1 й 2 істотно відрізняються одна від одної.

2. Для порівняння щільності матеріалу цеглин, що оброблені у різних зонах випалювання (А і В) печі, відібрали й зважили 14 цеглин із зони А (n₁) й 10 цеглин із зони В (n₂). Вважаючи, що рівень значущості , перевірити гіпотезу про рівність щільності матеріалу цеглин, з огляду на такі отримані значення статистичних оцінок:

для зони А: кг/м³, (кг/м³)².

для зони В: кг/м³, (кг/м³)².

Розв’язування

У даному випадку маємо задачу про порівняння математичних сподівань двох випадкових величин X й Y ( вони відповідають щільності матеріалу цеглин з двох зон випалювання печі) при невідомих дисперсіях. Цю задачу розв’язують за два етапи: спочатку перевіряється гіпотеза про рівність дисперсій випадкових величин X й Y, а потім – гіпотеза про рівність математичних сподівань ВВ X й Y за умов, що їхні дисперсії однакові.

Здійснимо перший етап розв’язку.

Вважаючи, що = 0,05, перевіримо гіпотезу , якщо альтернативна гіпотеза .

Спостережуване значення критерію:

Критичне значення критерію Фішера беремо з табл. 5 додатка 1, а саме:

Оскільки , то гіпотезу про рівність дисперсій ВВ X й Y відкидати немає підстав.

Тепер розв’яжемо задачу другого етапу. Перевіримо гіпотезу за альтернативної гіпотези . Будемо використовувати критерій Стьюдента.

Обчислимо спостережуване значення критерію таким чином:

Критичне значення критерію Стьюдента беремо з табл. 7 додатка 1, враховуючи, що критична область двобічна:

Оскільки , то гіпотезу немає підстави відкидати, тобто щільність матеріалу цеглин, оброблених у зонах випалювання А і В, розрізняється несуттєво.

Відповідь: щільність матеріалу цеглин, оброблених у зонах випалювання А і В, розрізняється несуттєво.

3. Виконано виміри діаметра 150 цапф, виготовлених на токарному верстаті. У ході вимірів фіксувалися відхилення цієї величини від номінального розміру х мкм (див. табл. 9.2). Діапазон виміряних відхилень розбито на 10 інтервалів (перша графа таблиці), у другій графі подано зафіксовані частоти попадання відхилень х у відповідні інтервали. Вважаючи, що рівень значущості , необхідно перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Розв’язування

Перевірку гіпотези будемо виконувати за критерієм згоди Пірсона. Спочатку обчислимо статистичні оцінки – вибіркове середнє й вибіркове середнє квадратичне відхилення , а саме:

де – середини інтервалів.

Спостережуване значення критерію обчислюється за формулою:

Тут – обсяг вибірки ( ); – емпіричні частоти (графа 2 табл. 9.2.); – ймовірність попадання ВВ Х в -й інтервал; – теоретичні частоти, що відповідають нормальному закону розподілу. Результати поетапних розрахунків подаються в табл. 9.2. У графі 3 розраховано величини – нормовані верхні межі інтервалів ( – верхня межа i-го інтервалу).

Різниця двох функцій Лапласа від верхньої та нижньої меж кожного інтервалу дорівнює ймовірності попадання випадкової величини Х у -й інтервал (графа 5).

Спостережуване значення критерію обчислюється як сума елементів, поданих у дев’ятій графі табл. 9.2, тобто

Критичне значення критерію, розподіленого за законом , визначається з табл. 5 додатка 1, коли , й число ступенів вільності , а r – число параметрів нормального закону розподілу, тобто r = 2. Тому .

Оскільки , то немає підстав відкидати гіпотезу про нормальний закон розподілу відхилень у вимірах діаметрів цапф від номінального значення.

Відповідь: на рівні значущості 0,05 гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності підтверджується.

Таблиця 9.2

Інтервали мкм

Частоти n_i

(24,5; 27,5) (27,5; 30,5) (30,5; 33,5) (33,5; 36,5) (36,5; 39,5)

(39,5; 42,5)

(42,5; 45,5)

(45,5; 48,5)

(48,5; 51,5)

(51,5; 54,5)

–2,27 –1,75 –1,22 –0,70 –0,17 0,35 0,88 1,40 1,93 2,46

0,0116 0,0401 0,1112 0,2420 0,4325 0,6368 0,8106 0,9192 0,9732 0,9930

0,0116 0,0285 0,0711 0,1308 0,1905 0,2043 0,1738 0,1086 0,0540 0,0268

1,74 4,275 10,67 19,62 28,58 3065,00 26,07 16,29 8,10 4,02

0,74 0,275 2,33 3,38 6,58 1,65 2,93 0,29 2,90 2,02

0,5476 0,0756 5,4289 11,4244 43,2964 2,7225 8,5849 0,0841 8,4100 4,0800

0,31 0,02 0,51 0,58 1,51 0,09 0,33 0,01 1,04 1,01

4. У лабораторних умовах спостерігали дію радіоактивної речовини протягом 2608 рівних проміжків часу. Стосовно кожного з цих інтервалів реєстрували число частинок, які пройшли через лічильник. У табл. 9.3 наведено кількість n_i проміжків часу, протягом яких через лічильник пройшло рівно частинок. В умовах, коли рівень значущості , за критерієм Пірсона перевірити гіпотезу про узгодженість спостережених даних із законом розподілу Пуассона (описується такою формулою: ).

Таблиця 9.3

i											³10
n_i

Розв’язування

Спочатку на основі дослідних даних обчислимо статистичну оцінку параметра , тобто

З урахуванням знайденої оцінки , обчислимо теоретичні ймовірності: , , й теоретичні частоти. Результати обчислень зводимо в табл. 9.4.

Таблиця 9.4

i	p_i	np_i
	0,021 0,081 0,156 0,201 0,195 0,151 0,097 0,054 0,026 0,011 0,007	54,8 211,2 406,8 524,2 508,6 393,8 253,0 140,8 67,8 28,7 18,3	2,2 –8,2 –23,8 0,8 23,4 14,2 20,0 –1,8 –22,8 –1,7 –2,3	4,84 67,24 566,44 0,64 547,56 201,64 400,0 3,24 519,84 2,89 5,29	0,088 0,318 1,392 0,001 1,077 0,512 1,581 0,023 7,667 0,101 0,289

Спостережуване значення критерію дорівнює сумі елементів останньої графи, тобто

Критичне значення критерію встановлюється за табл. 5 додатка 1, враховуючи, що рівень значущості і число ступенів вільності k = 10 – 1 – 1.

Оскільки , то немає підстав відкидати гіпотезу про узгодженість дослідних даних із законом Пуассона.

Відповідь: на рівні значущості 0,05 дослідні дані узгоджуються із законом Пуассона

5. Для перевірки точності роботи двох верстатів проведено виміри розміру деякої кількості однотипних деталей, що виготовлені цими верстатами. За результатами 25 вимірів деталей, виготовлених верстатом 1, обчислено, що виправлене вибіркове СКВ мкм, результати 30 вимірів деталей, виготовлених верстатом 2, дали таке виправлене вибіркове СКВ: мкм. Чи можна на основі цих даних з довірчою ймовірністю 0,05 стверджувати, що точність другого верстата вища від точності першого?

Відповідь: можна.

6. За допомогою двох вимірників довжини – механічного (1) й оптичного (2) – визначали довжину 10 осей редуктора. Відхилення кожної осі від проектного розміру занесено в табл. 9.5. (ціна поділки у приладах 0,01мм). Визначити, чи є істотною розбіжність між результатами, які отримані різними приладами (прийняти, що довірча ймовірність дорівнює 0,01).

Таблиця 9.5

Номер виміру
Результати вимірювання приладом 1, мм
Результати вимірювання приладом 2, мм

Відповідь:немає підстав вважати, що мають місце суттєві розбіжності.

7. Для порівняння двох марок сталі А й В в оцінюванні їхньої межі плинності перевірили 145 проб сталі марки А і 200 проб сталі марки В. За отриманими вибірками визначено такі вибіркові середні й вибіркові виправлені дисперсії:

для сталі марки А: кг/мм², (кг/мм²)²,

для сталі марки В: кг/мм² , (кг/мм²)².

За умови, що рівень значущості a = 0,01, встановити, чи суттєва розбіжність вибіркових середніх і , тобто чи властива сталі марки А більш висока межа плинності, ніж сталі марки В?

Відповідь: середні відрізняються суттєво, тобто сталь А має більш високу межу плинності.

8. Результат вимірювання за шкалою приладу оцінюється приблизно, в частках поділки шкали. Теоретично будь-яке значення останньої цифри результатів виміру рівноймовірне, але в ряді випадків оператор, який виконує виміри, віддає перевагу одним цифрам над іншими. У таблиці 9.6 наведено 200 значень останньої цифри, отриманих за результатами виміру.

Таблиця 9.6

Цифра, i
емпірична частота, n_i

Уважаючи, що рівень значущості a = 0,05, за критерієм Пірсона перевірити гіпотезу про відповідність дослідних даних рівномірному закону розподілу (для цього розподілу теоретична ймовірність появи будь-якої цифри ).

Відповідь: гіпотеза про рівномірний розподіл спростовується.

9. У табл. 9.7 наведено кількість ділянок рівної площі (0,25 км²) у південній частини Лондона, на кожну з яких припадало по m влучень літаків-снарядів під час Другої світової війни. За умови, що рівень значущості a = 0,05, перевірити з використанням критерію Пірсона гіпотезу про відповідність дослідних даних закону розподілу Пуассона (описується формулою: )

Таблиця 9.7

m						³5	Усього
n_m							n = 576

Відповідь: немає підстави відкидати гіпотезу про відповідність дослідних даних закону Пуассона.

10. Результати спостережень за середньодобовою температурою повітря протягом 320 діб наведено в табл. 9.8. Прийнявши, що рівень значущості a = 0,05, перевірити за критерієм Пірсона гіпотезу про відповідність дослідних даних нормальному закону розподілу.

Таблиця 9.8

	(– 40; – 30)	(– 30; – 20)	(– 20; – 10)	(– 10; 0)	(0; 10)	(10; 20)	(20; 30)	(30; 40)	(40; 50)	(50; 60)
n_i

Відповідь: немає підстав відкидати гіпотезу про відповідність дослідних даних нормальному закону розподілу.

Додаток 1

Таблиця 1

Значення функції:

x
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9

1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9

2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9

3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Таблиця 2

Значення функції:

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,40	0,1554	0,80	0,2881	1,20	0,3849
0,01	0,0040	0,41	0,1591	0,81	0,2910	1,21	0,3869
0,02	0,0080	0,42	0,1628	0,82	0,2939	1,22	0,3883
0,03	0,0120	0,43	0,1664	0,83	0,2967	1,23	0,3907
0,04	0,0160	0,44	0,1700	0,84	0,2995	1,24	0,3925
0,05	0,0199	0,45	0,1736	0,85	0,3023	1,25	0,3944
0,06	0,0239	0,46	0,1772	0,86	0,3051	1,26	0,3962
0,07	0,0279	0,47	0,1808	0,87	0,3078	1,27	0,3980
0,08	0,0319	0,48	0,1844	0,88	0,3106	1,28	0,3997
0,09	0,0359	0,49	0,1879	0,89	0,3133	1,29	0,4015
0,10	0,0398	0,50	0,1915	0,90	0,3159	1,30	0,4032
0,11	0,0438	0,51	0,1950	0,91	0,3186	1,31	0,4049
0,12	0,0478	0,52	0,1985	0,92	0,3212	1,32	0,4066
0,13	0,0517	0,53	0,2019	0,93	0,3238	1,33	0,4082
0,14	0,0557	0,54	0,2054	0,94	0,3264	1,34	0,4099
0,15	0,0596	0,55	0,2088	0,95	0,3289	1,35	0,4115
0,16	0,0636	0,56	0,2123	0,96	0,3315	1,36	0,4131
0,17	0,0675	0,57	0,2157	0,97	0,3340	1,37	0,4147
0,18	0,0714	0,58	0,2190	0,98	0,3365	1,38	0,4162
0,19	0,0753	0,59	0,2224	0,99	0,3389	1,39	0,4177
0,20	0,0793	0,60	0,2257	1,00	0,3413	1,40	0,4192
0,21	0,0832	0,61	0,2291	1,01	0,3438	1,41	0,4207
0,22	0,0871	0,62	0,2324	1,02	0,3461	1,42	0,4222
0,23	0,0910	0,63	0,2357	1,03	0,3485	1,43	0,4236
0,24	0,0948	0,64	0,2389	1,04	0,3508	1,44	0,4251
0,25	0,0987	0,65	0,2422	1,05	0,3531	1,45	0,4265
0,26	0,1026	0,66	0,2454	1,06	0,3554	1,46	0,4279
0,27	0,1064	0,67	0,2486	1,07	0,3577	1,47	0,4292
0,28	0,1103	0,68	0,2517	1,08	0,3599	1,48	0,4306
0,29	0,1141	0,69	0,2549	1,09	0,3621	1,49	0,4319
0,30	0,1179	0,70	0,2580	1,10	0,3643	1,50	0,4332
0,31	0,1217	0,71	0,2611	1,11	0,3665	1,51	0,4345
0,32	0,1255	0,72	0,2642	1,12	0,3686	1,52	0,4357
0,33	0,1293	0,73	0,2673	1,13	0,3708	1,53	0,4370
0,34	0,1331	0,74	0,2703	1,14	0,3729	1,54	0,4382
0,35	0,1368	0,75	0,2734	1,15	0,3749	1,55	0,4394
0,36	0,1406	0,76	0,2764	1,16	0,3770	1,56	0,4406
0,37	0,1443	0,77	0,2794	1,17	0,3790	1,57	0,4418
0,38	0,1480	0,78	0,2823	1,18	0,3810	1,58	0,4429
0,39	0,1517	0,79	0,2853	1,19	0,3830	1,59	0,4441

Продовження табл. 2

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
1,60	0,4452	1,86	0,4686	2,22	0,4868	2,74	0,4969
1,61	0,4463	1,87	0,4693	2,24	0,4875	2,76	0,4971
1,62	0,4474	1,88	0,4699	2,26	0,4881	2,78	0,4973
1,63	0,4484	1,89	0,4706	2,28	0,4887	2,80	0,4974
1,64	0,4495	1,90	0,4713	2,30	0,4893	2,82	0,4976
1,65	0,4505	1,86	0,4686	2,32	0,4898	2,84	0,4977
1,66	0,4515	1,91	0,4719	2,34	0,4904	2,86	0,4979
1,67	0,4525	1,92	0,4726	2,36	0,4909	2,88	0,4980
1,68	0,4535	1,93	0,4732	2,38	0,4913	2,90	0,4981
1,69	0,4545	1,94	0,4738	2,40	0,4918	2,92	0,4982
1,70	0,4554	1,95	0,4744	2,42	0,4922	2,94	0,4984
1,71	0,4564	1,96	0,4750	2,44	0,4927	2,96	0,4985
1,72	0,4573	1,97	0,4756	2,46	0,4931	2,98	0,4986
1,73	0,4582	1,98	0,4761	2,48	0,4934	3,00	0,49865
1,74	0,4591	1,99	0,4767	2,50	0,4938	3,20	0,49931
1,75	0,4599	2,00	0,4772	2,52	0,4941	3,40	0,49966
1,76	0,4608	2,02	0,4783	2,54	0,4945	3,60	0,499841
1,77	0,4616	2,04	0,4793	2,56	0,4948	3,80	0,499928
1,78	0,4625	2,06	0,4803	2,58	0,4951	4,00	0,4999608
1,79	0,4633	2,08	0,4812	2,60	0,4953	4,50	0,499997
1,80	0,4641	2,10	0,4821	2,62	0,4956	5,00	0,499997
1,81	0,4649	2,12	0,4830	2,64	0,4959
1,82	0,4656	2,14	0,4838	2,66	0,4961
1,83	0,4664	2,16	0,4846	2,68	0,4963
1,84	0,4671	2,18	0,4854	2,70	0,4965
1,85	0,4678	2,20	0,4861	2,72	0,4967

Таблиця 3

Значення функціїt_g = t(g, n)

n	g	n	g
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61		2,093	2,861	3,883
	2,57	4,03	6,86		2,064	2,798	3,745
	2,45	3,71	5,96		2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41		2,032	2,720	3,600
	2,31	3,36	5,04		2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78		2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	4,59		2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44		2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32		1,999	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22		1,001	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14		1,987	2,633	3,403
	2,13	2,95	4,07		1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02		1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97	¥	1,960	2,576	3,291
	2,10	2,88	3,92

Таблиця 4

Значення функціїq = q(g, n)

n	g	n	g
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	1,37	2,67	5,64		0,37	0,58	0,88
	1,09	2,01	3,88		0,32	0,49	0,73
	0,92	1,62	2,98		0,28	0,43	0,63
	0,80	1,38	2,42		0,26	0,38	0,56
	0,71	1,20	2,06		0,24	0,35	0,50
	0,65	1,08	1,80		0,22	0,32	0,46
	0,59	0,98	1,60		0,21	0,30	0,43
	0,55	0,90	1,45		0,188	0,269	0,38
	0,52	0,83	1,33		0,174	0,245	0,34
	0,48	0,78	1,23		0,161	0,226	0,31
	0,46	0,73	1,15		0,151	0,211	0,29
	0,44	0,70	1,07		0,143	0,198	0,27
	0,42	0,66	1,01		0,115	0,160	0,211
	0,40	0,63	0,96		0,099	0,136	0,185
	0,39	0,60	0,92		0,089	0,120	0,162

Таблиця 5

Критичні точки розподілу c²

Число ступенів вільності k	Рівень значущості a
0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
	9,2	7,4	6,0	0,103		0,020
	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

Таблиця 6

⇐ Предыдущая 30 31 32 33 34 35 363738 39 Следующая ⇒