Главная | Обратная связь

Перестановки та комбінації з повторенням

Число різних перестановок з повтореннями , які можна утворити з елементів, серед яких однакових елементів I-го типу, одинакових елементів II-го типу, і т. д., однакових елементів -го типу, причому , знаходяться за формулою:

. (9)

Приклад 1. Скільки різних з’єднань букв можна утворити, переставляючи букви: 1) у слові „мама”, записати ці сполучення букв; 2) у слові „паралелограм” ?

Розв’язання.

1) У слові „мама” букви, причому букв „м” – дві, букв „а” – дві. За формулою (9) всіх перестановок буде:

.

А самі перестановки будуть такими: „мама”, „маам”, „амам”, „аамм”, „амма”.

2) У слові „паралелограм” є 12 букв, із них букв „а” – 3, „г” – 1, „е” – 1, „л” – 2, „м” – 1, „о” – 1, „п” – 1, „р” – 2. Всіх перестановок:

.

Приклад 2. Скількома способами на першій горизонталі шахматної дошки можна розставити такі однокольорові фігури: дві ладді, два коні, два слони, одного ферзя, і одного короля ?

Розв’язання. Всіх фігур 8, причому , , , , , тоді

.

Розглянемо комбінації з повтореннями.

Число комбінацій з повтореннями (позначається ) із по елементів є такі сполуки по елементів в кожній (елементи можуть повторюватись), які вибираються із елементів типів, причому порядок елементів не враховується, знаходиться за формулою:

, (10)

де може бути .

Приклад 3. На складі потрібно отримати 5 однотипних деталей , кожна з яких може бути покрашеною в один з трьох кольорів: червоний, чорний, зелений. Скількома способами можна вибрати 5 деталей трьох кольорів ?

Розв'язання. За умовою задачі m = 5, n = 3, тому за формулою (9) знаходимо

 

Задачі на комбінаторику

1.У розкладі на один день з 11 дисциплін повинно бути 5 уроків. Знайти кількість всіх можливих розкладів на день, якщо враховується порядок розміщення дисциплін.

2.Скількома способами можна вибрати 3 чергових в групі з 20 чоловік ?

3.До складу комісії входять 7 чоловік. Необхідно обрати правління комісії, в яке входять голова, його замісник і секретар. Скількома способами можна обрати правління комісії ?

4.Скільки 3-х значних чисел можна скласти з цифр 1,3,5, якщо: а) цифри не повторюються; б) цифри повторюються ?

5.У одного студента 7 різних книг з математики, у другого – 9 різних книг технічного змісту. Скількома способами вони можуть здійснити обмін книги на книгу?

6.У вазі стоять 10 червоних і 4 рожевих гвоздики. Скількома способами можна вибрати букет із 3 квіток ?

7.У спортивному клубі займаються 12 штангістів, 15 легкоатлетів, 14 борців. На міжклубні змагання необхідно виставити команду з 12 чоловік: 3-х штангістів, 5-ти легкоатлетів, 4-х борців. Скількома різними способами можна укомплектувати команду ?

8.Скількома способами 10 чоловік можуть стати в черзі один за одним ?

9.Скільки не більше ніж трьохзначних чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5 ?

10.Скільки повних різних обідів можна скласти, якщо в меню є 3 перших блюда, 4 других і 2 третіх ?

11.Скільки можна скласти різних сполук із п’яти, які не повторюються, букв (“слів”), що входять до складу слова “подія” ?

12.Скількома способами можна розмістити на вітринній полиці 4 книги з теорії ймовірностей, 3 книги з теорії ігор і 2 книги з математичної статистики, якщо книги з кожного предмета однакові?

13.В електричній мережі 6 перемикачів. Кожний з перемикачів може бути включеним або виключеним. Скільки існує різних положень, в яких можуть бути всі перемикачі ?

14.Скільки хорд можна провести через 4 точки, які належать одному колу ?

15.Скільки чотиризначних чисел можна утворити із непарних цифр, якщо кожна з них може повторюватись ?

16.Скількома способами групу студентів із восьми чоловік можна розбити на дві підгрупи із 3-х і 5-ти чоловік ?

17.Скільки різних “слів”, кожне з яких складається із 7 літер, можна скласти із літер слова “колобок” ?

18.На колі вибрано 10 точок. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках ?

19.Групу з 20 студентів потрібно розділити на 3 бригади, причому в першу бригаду повинно входити 3 чоловіка, в другу – 5, а у третю – 12. Скількома способами це можна зробити ?

20.Для участі в команді тренер відбирає 5 гравців із 10. Скількома способами він може сформувати команду, якщо 2 із гравців повинні обов’язково входити в команду ?

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. а) ; б) . 5.63 . 6. . 7. . 8.10! 9.5+20+60 = =85. 10.24. 11.5! 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18.120. 19. . 20.56.

Класифікація подій

Багато явищ у природі або діяльності людей дослідники вивчають за допомогою спостережень або проведенням дослідів, випробувань. Для проведення випробування необхідно створити певний комплекс умов.

Результат випробування називають подією.

Наприклад, щоб випускати певну продукцію, необхідно створити відповідні для виробництва умови (комплекс умов). Результат виробництва – готова продукція (подія).

Щоб перевірити на якість електролампу, необхідно включити її в електричне коло з видповідною напругою і силою струму (створити комплекс умов). Результат перевірки: лампа може горіти, або не горіти, тобто бути якісною або бракованою (подія).

Часто деякі випробування можуть повторюватись багато разів при одних і тих же умовах, в результаті чого появляється множина подій, які підпорядковуються певній закономірності.

Наприклад, при перевірці на стандартність великої партії виробів необхідно хоча б деякі з них випробувати. Для цього потрібно мати вироби, випробувний стенд з приладами спостереження, обслуговуючий персонал, - все це відноситься до комплексу умов. В результаті випробувань можливі події: а) виріб стандартний, б) виріб нестандартний. При масовому виробництві при одних і тих же умовах у кожній із партій виробів відношення числа стандартних (або нестандартних) виробів до загального числа всіх перевірених виражається числами (відносними частотами), які, як правило, мало відрізняються одне від одного. Таким чином, з’являється числовий вираз можливості появи даної події.

Події, які вивчаються у теорії ймовірностей, прийнято позначати великими буквами і ділять їх на три види: достовірні (або вірогідні), неможливіі випадкові.

Достовірною(вірогідною) називають подію, яка обов’язково відбувається при здійсненні певного комплексу умов.

Наприклад, якщо в ящику всі кулі тільки білого кольору і навмання (наугад) вибирається одна із них, то вона буде обов’язково білою. Це достовірна подія.

Неможливою називають подію, яка при заданому комплексі умов не може відбутися.

Наприклад, з того ж ящика, в якому тільки білі кулі, взяти навмання чорну кулю неможливо.

Випадковими називаються події, які при заданому комплексі умов можуть відбуватися, або не відбуватися.

Розглянемо приклади випадкових подій.

1) При заданій технології цех виготовив партію деталей. Навмання вибирається одна з них. Може виявитися, що ця деталь стандартна (подія ), або нестандартна (подія ). і - випадкові події.

2) При підкиданні тонка монета падає на горизонтальну поверхню стола. Випадання „герба” (подія ) або „числа” (подія ) – це випадкові події.

3) В урні лежать 20 однакових за вагою, діаметром, шорсткістю, але різних за кольором куль, причому 10 із них – білі, 7 – червоні, 3 – чорні. Кулі перемішуються і навмання вибирається одна з куль. Вибір білої кулі – це подія, яку позначимо через , - червона куля, - чорна куля. Тут маємо справу з трьома випадковими подіями.

Замітимо, що в подальшому для наочності ряду положень теорії ймовірностей, ми будемо використовувати як модель так звану урнову схему. Мається на увазі урна (ящик) з кулями, які задовольняють описаним вище вимогам. Після перемішування наугад вибирається одна або більше куль.

4) Грані грального кубика мають номери: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Випадання довільного числа від 1 до 6 при підкиданні кубика – випадкові події. В даному випадку таких подій шість. В подальших прикладах будемо мати на увазі, що центр ваги кубика не зміщений.

5) Число можливих захворювань при розповсюдженні епідемії грипу в даному регіоні – теж випадкова подія.

6) Дорожно-транспортна пригода – випадкова подія.

7) Настання сухої або дощової погоди на наступний день – подія випадкова.

8) При вимірюванні довжини відрізка кілька разів ми будемо отримувати різні значення, які залежать від багатьох факторів, наприклад, точності вимірювального приладу, температури, вологи, освітленності навколишнього середовища, стану людини, яка виконує вимірювання, її навиків і т. п. Таким чином результат вимірювання – теж випадкова подія.

У наведених прикладах ми бачимо, що в результаті різних випробувань може з’явитись одна із декількох випадкових подій. Яка саме ? Наперед точно завбачити неможливо. Інтуїтивно ми можемо припустити, що у прикладі 2 випадання „герба” або „числа” при підкиданні монети мають однакові можливості. У прикладі 3 випадковий вибір білої кулі більш можливий, ніж чорної. Рівноможливими є поява чисел від 1 до 6 при підкиданні грального кубика (приклад 4).

Більш складною є оцінка можливості появи випадкових подій в прикладах 1, 5 – 8. Так, наприклад, прогнозування числа захворювань оцінюється на основі накопичених багатьох статистичних даних, старанного вивчення характеру захворювання, його причин і способів поширення. Такий прогноз дозволяє зарані створити запас лікарств, намітити заходи по зниженню наслідків епідемії.

Виявити закономірність однорідних випадкових подій можна тоді, коли є можливість багаторазово за ними спостерігати, практично необмежене число разів. Такі випадкові події називаються масовими.

Можливість появи випадкових подій характеризується числом, яке називають ймовірністю події.

Теорія ймовірностей вивчає ймовірнісні закономірності однорідних випадкових масових подій. Знання цих закономірностей дозволяє передбачити, як ці події будуть відбуватися.

Методи теорії імовірностей широко застосовуються в різних природничих науках, у прикладних технічних областях. Теорія ймовірностей є основою теорії надійності, теорії масового обслуговування. Багато досліджень в економічних науках пов’язані з використанням теорії ймовірностей.

В окремих простих схемах ймовірність випадкової події може бути обчислена безпосередньо. Про це в наступному параграфі.