Здавалка
Главная | Обратная связь

Статистичне означення ймовірності



Зауважимо, що класичне означення ймовірності оправдано тоді, коли є можливість знайти ймовірність на основі симетрії тих умов, при яких відбувається випробування, а, значить, і симетрії наслідків випробування, що дає підставу говорити про рівноможливість і єдиноможливість подій, тобто про випадки. Щодо симетрії подій, то в одних випадках вона пов’язана з геометричною симетрією та однорідністю тих предметів, які використовуються у випробуваннях (гральний кубик, монета). В інших випадках симетрія подій досягається за рахунок такого перемішування або тасування однорідних елементів, щоб можна було забезпечити рівноможливий вибір довільного елемента (колода карт, урна з кулями, лотерейний барабан з кульками і т.і.). Однак наші уявлення про рівноможливість, а, отже, і ймовірність були б недостатніми, якщо б вірність теоретичних висновків не підтверджувалась багаточисельними експериментами (див., напр., табл.1 в цьому ому.параграфі), так і на основі аналізу азартних ігр, таких як підкидання кубика („гра в кості”), підкидання монети („гра в орлянку”), деяких ігр у карти. З аналізу азартних ігр і почався в XVI – XVII століттях розвиток теорії ймовірностей. Вже у ті часи було, наприклад, помічено, що при багатократних підкиданнях двох гральних кубиків деякі суми цифр на гранях кубиків, що випали, з’являються частіше інших сум (див. приклад 3 попереднього параграфа). Так на прикладах випробувань, які пов’язані з рівно можливістю подій, почали спостерігатись статистичні закономірності. Це відкрило шлях для статистичного підходу до чисельного означення ймовірності. Статистичний підхід стає особливо важливим тоді, коли з теоретичних міркувань, подібних до міркувань симетрії, значення ймовірності події наперед встановити неможливо. Наприклад, якщо у партії, із 100 випадково відібраних для контролю виробів, виявлено 2 нестандартних, то твердження, що відношення (його називають відносною частотою), можна вважати ймовірністю появи нестандартного виробу, не може бути переконливим. Цей приклад у схему випадків не вписується. Теоретично ймовірність такої події встановити не можна. Однак, вихід можливий, якщо багатократно повторювати вибірки (при однакових умовах) і прослідкувати за значеннями відносних частот події, тобто скористатись статистичними методами.

Означення. Відносною частотою випадкової події називається відношення m, числа випробувань, в яких ця подія з’явилась, до загального числа n, проведених випробувань, і позначається

 

Звернемо увагу, що згідно класичного означення ймовірність події можна обчислити теоретично до проведення випробувань, в той час як відносну частоту знаходять після проведення випробувань.

Між відносною частотою і ймовірністю події А є певний зв’язок: якщо якимось чином установлено, що ймовірність випадкової події дорівнює числу Р (Р(А) = Р), то при великих серіях випробувань і незмінних умовах частота події А приблизно дорівнює ймовірності, тобто

Для підтвердження цієї рівності подаємо відомі дані перевірки симетричності монети. Проводилось n підкидань монети, „герб” з’являвся m разів, - відносна частота випадання „герба”. В літературі з теорії ймовірностей добре відомі ці результати (таблиця 1).

Таблиця 1

Автор експерименту n m/n
Бюффон (1707-1788) – французький природодослідник 0,507
Де Морган (1806-1871) – шотландський математик, логік 0,5005
Джевонс (1835-1882) – англійський економіст і філософ, логік 20 480 0,5068
Романовський В.І. (1879-1954) – радянський математик 80 640 0,4933
Пірсон К. (1857-1936) – англійський математик-статистик, біолог, філософ 24 000 0,5005
Феллер У. (1906-1970) – американський математик 10 000 0,4979

 

Подані результати випробувань цілком узгоджуються з теоретичним значенням ймовірності, яка дорівнює 0,5 і отримана в припущенні рівної можливості „герба” і „числа”, тобто симетричності монети. За допомогою спеціальних ймовірнісних методів за даними випробувань можна встановити, що випадання „герба” або „числа” в окремих випадках не однаково ймовірно, тобто монета не є симетричною.

Приведемо ще один приклад.

За статистичними даними російського поштового відомства було виявлено, що доля листів, які відправлялись без адреси має певну стійкість. Ці дані подаються далі у таблиці 2.


Таблиця 2

Рік Всього листів, n Листи без адреси, m Відносна частота, m/n
98 300 000 107 600 000 121 400 000 135 700 000 150 700 000 26 112 26 977 33 515 33 643 40 101

 

Із таблиці видно, що в різні роки відправлялись різні кількості листів, різна кількість листів без адреси серед них, але відносна частота листів без адреси має дивну стійкість: на 1 000 000 листів 25-27 листів без адреси. Причини відправлення листів без адреси очевидно досить різноманітні. Класичним прикладом може бути чеховський герой, малий хлопчина Ванька Жуков, який підписав листа „На деревню дедушке”.

Розглянемо ще приклад про частоту народження хлопчиків за даними шведської статистики, зібраної за 1935 рік К.Крамером (див. табл.3) – шведським математиком.

Недивлячись на те, що число новонароджених змінюється щомісячно, частота народження хлопчиків досить стійко коливається біля середнього значення 0,517. Слід відмітити, що частота народження хлопчиків залежить від регіону, де збирається статистика, тому може приймати інші значення, але вони, як правило, більші 0,5.

Таблиця 3

Місяці Число новонароджених, n Відносна частота, m/n
І 0,514
ІІ 0,510
ІІІ 0,510
IV 0,529
V 0,522
VI 0,518
VII 0,523
VIII 0,514
IX 0,515
X 0,509
XI 0,521
XII 0,527
Всього 88 273 0,517

 

Ряд статистичних закономірностей були виявлені в кінці ХІХ і початку ХХ століття у фізиці, хімії, біології, економіці і інших науках. Було установлено, що якщо досліди ведуться при незмінних умовах, в кожному з яких число випробувань n досить велике, то число m випробувань, при яких дана подія А з’явилась, тобто частота події , як правило, мало відрізняється від ймовірності Р(А) появи події А. І чим більше число випробувань, тим рідше зустрічаються частоти , які значно відхиляються від ймовірності Р(А).

Зміна комплекса умов випробувань приводить до зміни значень відносних частот. Для цього досить порівняти дані таблиці 3 з таблицею 4, яка містить відносні частоти народження хлопчиків у Франції.

Таблиця 4

Роки m/n – відносна частота народження хлопчиків
1921-1925 0,512
1935-1939 0,509
0,510
0,509
0,513
0,515
0,514
0,514
0,514
0,514

 

Тут спостерігається, замічене раніше у Німеччині і Великобританії, явище, що число народжень хлопчиків дещо збільшується під час і зразу після великих затяжних війн. Це явище пояснювалось багатьма гіпотезами, але ні одна із них не пояснювала повністю спостережуваного явища.

Таким чином, при багатократних випробовуваннях, відносна частота, мало змінюючись, коливається навколо деякого числа, яке є ймовірністю події. Згідно статистичного означення за ймовірність події приймається відносна частота або число близьке до неї.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.