 |
|
Елементарні події. Простір елементарних подій
У попередніх параграфах вже відмічалось, що у теорії ймовірностей розглядаються випробування, які можна повторювати нескінченну кількість разів. Можливий результат випробування називають елементарною подією. Елементарну подію прийнято позначати через w. У результаті випробування наступає якась одна із елементарних подій. Множина всіх можливих елементарних подій називається простором елементарних подій і позначається 
. Випадковою подією (або просто подією) називається довільна множина А елементарних подій, тобто підмножина простору W. Ті елементарні події, з яких складається подія А називаються сприятливими для А ( 
).
Поняття елементарних подій і простору елементарних подій є первісними поняттями.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. При підкиданні монети один раз елементарними подіями є випадання герба (Г) або числа (Ч), позначимо їх відповідно через 
і 
. Простір елементарних подій або повна група подій 
має своїми елементами і .
Приклад 2. Підкидання грального кубика один раз. При цьому випробуванні природно взяти
де через 
позначимо елементарну подію, яка означає, що на верхній грані кубика випало 
очок, – елементи простору W. Використовується ще таке позначення 
– одноелементні події, або кожній випадковій події 
сприяє відповідна елементарна подія 
.
Розглянемо ще кілька можливих подій даного випробування. Позначимо 
випадкову подію, яка полягає в тому, що на верхній грані у кубика випало парне число очок, це коротко запишеться 
. Аналогічно введемо події 
, яка означає що випало непарне число очок, 
– число очок, що випало кратне трьом. Кожній з останніх трьох подій А сприяють відповідні елементарні події: для – сприятливими є елементарні події 
; для 
– сприятливими є 
; для 
– сприятливі 
.
Отже, кожна з подій А складається із елементарних подій 
і є в той же час підмножиною простору .
Приклад 3. Підкидання монети 3 рази. Елементарними подіями будуть сполука герба або числа. Наприклад, ГГГ– три рази підряд випав герб, ЧГЧ – перший раз випало число, другий – герб і третій раз випало число. Схематично сукупність елементарних подій можна записати:
| ГГГ | ГГЧ | ГЧГ | ЧГГ | ЧГЧ | ЧЧГ | ГЧЧ | ЧЧЧ |
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
Всіх подій вісім, бо тут розміщення з повтореннями (із двох елементів (Г,Ч) по три кожному, а їх загальна кількість 
.
Позначимо кожну з наведених елементарних подій відповідно 
. Простір елементарних подій запишеться
.
Розглянемо ще кілька подій цього випробування. Нехай подія А означає, що при першому підкиданні може випасти герб, це одна з елементарних подій 
. Вони сприяють появі А, 
.
Нехай подія В означає появу принаймні одного герба. Сприятливими для В є всі елементарні події, починаючи і закінчуючи , крім .
З одного боку події А і В є множинами відповідних елементарних подій , а з другого боку вони є підмножинами просторуелементарних подій W.
У прикладах 1) – 3) простори елементарних подій скінченні.
Приклад 4.Монету підкидають до того часу поки вперше не з’явиться герб, тоді простір елементарних подій нескінченний і має вигляд
W={Г, ЧГ, ЧЧГ, ЧЧЧГ,..., 
}.
Приклад 5. У квадраті D={-1<x<1, -1<y<1} випадково вибирається точка. Простір елементарних подій 
можна записати так
W={w}={(x, y): -1<x<1, -1<y<1}.
Тут вже елементарних подій нескінченно багато. Більш складними подіями будуть множини точок у квадраті. Наприклад, подія А – це попадання точки у замкнений круг з центром у початку координат і радіусом 0,5. Множина всіх точок круга є сприятливою для появи події А.