 |
|
Теорема1. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне й те саме число разів, то середня арифметична теж збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.
Доведення. Нехай 
- варіанти, а 
- відповідні їхні частоти, тоді за формулою (2) середня арифметична
Теорема2. Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й те саме число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться на те ж саме число.
Доведення. Нехай - варіанти, а - відповідні їхні частоти. Розглянемо нові варіанти, наприклад, 
з тими ж частотами, тоді середня арифметична їх
оскільки 
.
Теорема3. Сума добутків відхилень варіант від їх середньої арифметичної 
на відповідні їм частоти 
дорівнює нулю.
Доведення. Із теореми 2, маємо
2. 4. 2. Спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної
Для скорочення обсягу обчислень при знаходженні середнього арифметичного вводять, так звані, допоміжні варіанти. При вдалому виборі допоміжних варіант обчислення можна звести до невеликих цілих чисел.
Пояснимо на прикладах.
Приклад 1. Знайти середнє арифметичне чисел 
; 
; 
.
Розв’язання.
І-ий спосіб. За означенням
;
ІІ-ий спосіб. Оскільки 
; 
; 
, то середнє арифментичне сталої 
, повтореної тричі, є ця ж величина, тому залишається знайти середнє арифметичне для чисел 
, 
, 
і додати до сталої 
результат: 
.
Приклад 2. Знайти середнє арифметичне статичного ряду
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
Розв’язання. Тут варіанти рівновідділені з кроком 
.
Позначимо через ту варіанту, якій відповідає найбільша частота. Це 
, бо її частота 
. Введемо допоміжну варіанту за формулою
.
Тоді: 
;
Запишемо статистичний ряд для 
з тими ж частотами 
, які відповідають 
:
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
Знаходимо середнє арифметичне 
Оскільки із виразу 
маємо
то 
Можна перевірити, що
.
Перейдемо до загального викладу спрощеного способу.
Для статистичного ряду
|
| 
| 
| ... |
| ... | 
|
|
| 
| 
| ... |
| ... | 
|
де 
- рівновіддалені варіанти з кроком 
,
або 
,
знайти середнє арифметичне значення варіант.
Введемо допоміжні варіанти за формулою
, (1)
де -та із варіант 
, якій відповідає найбільша із частот .
Складемо статистичний ряд для допоміжних варіант
|
| 
| 
| ... |
| ... |
|
|
| 
| 
| ... |
| ... | 
|
|
|
|
| ... |
| ... |
|
і знайдемо середнє арифметичне допоміжних варіант
. (2)
Тоді має місце.
Теорема. Середнє арифметичне значення основних рівновіддалених з кроком варіант дорівнює добутку середнього арифметичного допоміжного ряду на крок плюс значення тієї варіанти, якій відповідає найбільша із частот ряду, тобто
. (3)
Доведення. Із заміни (формула (1)) знаходимо
і підставляємо у формулу середнього арифметичного.
.
Отже, формула (3) доведена.
Приклад 3. Знайти середнє арифметичне за даними таблиці 3 (див. § 2.1, табл. 3), використовуючи спрощений спосіб,
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
| 
|
|
|
|
.
Розв’язання. Найбільшою частотою у таблиці є =23, їй відповідає варіанта 
=175, позначимо її через , крок для рівновіддалених варіант
.
Вводимо допоміжні варіанти
,
Запишемо новий статистичний ряд
|
| -1 | ||||||
|
|
Знаходимо
.
Тоді за формулою (3)
.
Отже, підтвердилось значення, знайдене раніше у прикладі 3 §2. 4. 1.
2.4.3. Середнє лінійне відхилення
У таблиці 1 (див. § 2.4.1, приклад 1) вже приводились результати здачі іспита у двох групах по 20 студентів в кожній.
Таблиця 1
Оцінки 
| “2” | “3” | “4” | “5” |
| Кількість оцінок у І групі | ||||
| Кількість оцінок у ІІ групі |
За даними таблиці було установлено, що середні бали у цих групах однакові ( 
), тому для більш детального вивчення статистичних рядів необхідно враховувати розсіювання варіант відносно середнього арифметичного.
Для характеристики розсіювання використовуються середнє лінійне відхилення, а також дисперсія.
Означення. Середнім лінійним відхиленням називається середнє арифметичне абсолютних величин відхилень варіант від їх середньої арифметичної
. (1)
Приклад. За даними таблиці 1 знайти середні лінійні відхилення.
Розв’язання.
Оскільки середні арифметичні вже відомі , то за формулою (1) знаходимо
Отже, 
, 
; 
, і це означає, що значення варіант (оцінок) у другій групі більш розсіяні ніж у першій.