Здавалка
Главная | Обратная связь

Теорема. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної з них, тобто



(1)

Доведеннявиконаємо за допомогою класичного означення ймовірності. Нехай - число випадків, які сприяють появі події , - число випадків, які сприяють появі події , - загальне число всіх можливих випадків. Тоді події (а вони несумісні) сприяють випадки, тому ймовірність

.

Зауваження.Коли безпосередній підрахунок ймовірностей неможливий, то виходять із того, що при великому числі випробувань відносні частоти стають близькими до ймовірності, а для відносних частот доведення виконується аналогічно викладеному вище.

При теоретико-множинному підході формула (1) приймається, як одна з аксіом.

 

Приклад 1. В ящику 15 однотипних деталей, 5 із них пофарбовані в синій колір, 7 – в зелений, і 3 деталі непофарбовані. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь пофарбована.

Розв’язання. Розглянемо можливі події. Подія , якщо вибрана деталь синього кольору, - зеленого, і - деталь непофарбована. Поява пофарбованої деталі означає або появу події , або події . Ймовірність цих подій дорівнює відповідно

,

тоді

.

Рівність (1) узагальнюється і для - попарно несумісних подій:

(2)

Наслідок. Якщо випадкові події утворюють повну групу попарно несумісних подій, то

.(3)

Дійсно, оскільки події утворюють повну групу, то поява однієї із них є достовірною подією, тоді

,

а далі за формулою (2).

Означення.Дві події називаєтьсяпротилежними,якщо вони несумісні і утворюють повну групу, позначаються і .

Із формули (3) випливає, що сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

.(4)

Із (4) маємо: ймовірність протилежної події дорівнює одиниці мінус ймовірність початкової події

. (5)

Прийнято позначати , а для протилежної події , тоді

.

Зауважимо, що при розв’язуванні задач часто буває легше обчислити ймовірність протилежної події , ніж ймовірність прямої події .

Приклад 2.робиться один вистріл по круговій мішені, яка складається з “яблука” і двох концентричних кілець. Ймовірності влучення при одному вистрілі в “яблуко” і кільця відповідно дорівнюють: 0,11; 0,24; 0,35. Знайти ймовірність промаху.

Розв’язання. Нехай подія - промах, протилежна їй подія = влучення, яка наступає внаслідок появи однієї з трьох несумісних подій: - влучення в “яблуко”, і - влучення відповідно в друге і третє кільця, тобто

.

.

Тоді ймовірність промаху

.

Задачі на теорему додавання ймовірностей несумісних подій

1.У грошово-речовій лотереї на кожні 10000 білетів розігрується 150 речових і 50 грошових виграшів. Знайти ймовірність виграшу (байдуже речового чи грошового) для власника одного лотерейного білета.

2.Ймовірність того, що стрілець при одному вистрілі виб’є 10 очок, дорівнює 0,1 ; ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,3 ; ймовірність вибити 8 або менше очок дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що при одному вистрілі стрілець виб’є не менше 9 очок.

3.Учасники жеребкування виймають із скриньки жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри 5.

4.За статистичними даними ремонтної майстерні у середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця, 3 – із-за несправностей приводу, 2 – із-за несвоєчасної подачі заготовок. Решта зупинок припадають на інші причини. Знайти ймовірність зупинки станка за іншими причинами.

 

Відповіді.1.0,02. 2. 0,4. 3. 0,81. 4. 0,25.








©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.