Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей появи кожної з них

(1)

Пояснення формули (1) подамо, виходячи з класичного означення, на такому прикладі.

Нехай в кожній з двох урн є відповідно чорних куль із можливих (І урна), і чорних куль із можливих (ІІ урна). Навмання дістаємо по одній кулі з кожної з урн. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть чорними.

ІІ

Ймовірність випадкового вибору чорної кулі з І-ої урни (подія А) за умовою задачі дорівнює

аналогічно для події , вибір чорної кулі з ІІ-ї урни,

Події , обидві кулі чорні, сприяють випадків із загального числа всіх можливих випадків, тобто

Приклад 1. Є три ящики по 10 деталей в кожному. Причому у І-му ящику – 8, в ІІ-му – 7, в ІІІ-му – 9 стандартних, всі решта - нестандартні. Знайти ймовірність, що всі три деталі вийняті по одній з кожного ящика навмання будуть стандартними.

Розв’язання. Ймовірності випадкового вибору по одній стандартній деталі з кожного ящика відповідно дорівнюватимуть:

а ймовірність одночасної появи всіх трьох подій буде:

Приклад 2. Три студенти одночасно здають екзамен. Ймовірність здачі екзамена на “5” першим студентом – 0,8, другим – 0,5, третім – 0,3. Знайти ймовірність того що всі три студенти здадуть екзамен на “5”.

Розв’язання. Нехай подія ”здача екзамена на “5” усіма студентами”, через - “здача екзамена на “5” першим студентом”, - ІІ-м студентом, - ІІІ студентом. Події і - незалежні і . Отже,

Приклад 3. Із колоди, що містить 32 карти виймають по черзі 3 карти. Знайти ймовірність того, що всі три карти однієї масті.

Розв’язання. Нехай подія , поява трьох карт однієї масті, відбувається у результаті появи однієї з чотирьох подій , що означають появу трьох карт відповідних мастей: черва, бубна, піка, хрест. Події попарно несумісні, тому

. Кожна масть має карт. Випадків, що сприяють появі 3-х карт однієї масті є , а всіх можливих випадків , тому ймовірність 3-х карт для окремої масті

Тоді ймовірність події дорівнює

Якщо ж задано незалежних подій , то

(2)

Приклад 4. В електричне коло послідовно увімкнено 3 електроприлади. Ймовірність безвідмовної роботи кожного з них відповідно дорівнює: , і . Електричне коло замкнене, якщо безвідмовно працюють всі три прилади. Знайти ймовірність замкненості електричного кола.

Розв’язання. Щоб електричне коло було замкненим необхідно, щоб безвідмовно спрацювали всі три прилади, а це добуток трьох незалежних подій, іх ймовірність дорівнює

Задачі на теорему множення незалежних подій

1. У бібліотечку входять 10 різних книг, причому 5 книг вартістю по 20 грн кожна, три книги – по 10 грн і дві книги по 12 грн. Знайти ймовірність того, що взяті наугад дві книги коштують 30 грн.

2. Ймовірність того, що стрілець за одним вистрілом влучить у мішень, дорівнює . Знайти ймовірність того, що всі 3 вистріли дали влучення.

3. У двох ящиках знаходяться деталі: у першому – 10 (з них 3 стандартні), у другому – 15 (із них 6 стандартних). З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі будуть стандартними.

4. Підкинута монета і гральний кубик. Знайти ймовірність суміщення подій “випав герб” і “випало 6 очок”

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. .

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒