Ймовірність появи хоча б однієї події

Розглянемо незалежних подій . Нехай в результаті випробування може появитись або одна з цих подій, або дві, або три, …, або всі подій. Позначимо таку подію через . Під появою події розуміють, що відбулося не менше однієї з перелічених подій . Прийнято ще говорити, що “відбулася хоча б одна з подій ”, або “принаймні одна з подій ”. Цим виразам в даному випадку надається один і той же зміст.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних до , тобто

. (1)

Доведення. Подія , яка означає появу хоча б однієї з подій і подія , яка означає, що не появилась жодна з цих подій , є протилежними, тобто сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

Звідси за формулою множення незалежних подій маємо формулу (1), або

, (2)

де , , …,

Зауваження. Якщо всі протилежні ймовірності однакові, то ймовірність появи хоча б однієї з них дорівнює

. (3)

Приклад 1. В електричне коло паралельно увімкнено 3 електроприлади. Ймовірність безвідмовної роботи кожного з елетроприладів дорівнює: , , . Електричне коло замкнене, якщо безвідмовно працює хоча б один з приладів. Знайти ймовірність замкненості електричного кола.

Розв’язання. Нехай події означають безвідмовну роботу відповідно кожного з приладів. За умовою

задачі . Для протилежних подій маємо . Подія означає одночасну відмову всіх трьох електроприладів, . Отже, ймовірність протилежної події, тобто хоча б один з трьох приладів спрацює безвідмовно, або електричне коло буде замкненим, дорівнюватиме

Зауваження. Порівнюючи результати даного прикладу 1 з подібними прикладом 4 , який розв’язано у 3.2, ми бачимо, що при паралельномувключенні елементів в дану систему надійністьїї зростає, а при послідовному включенні надійність системи знижується. Цей факт ураховується в техніці, зокрема у ракетобудуванні, літакобудуванні, де часто застосовуються дублюючі системи. Відомо, що одним з найважливіших елементів польоту є приземлення літака. Останнє залежить від викиду і фіксації шасі. Тому для підвищення надійності в деяких системах літаків викид шасі виконується в автоматичному режимі, але в непередбачених ситуаціях може виконуватись гідравлічним способом, або електромеханічним, або, накінець, ручним способом.

Приклад 2. Ймовірність відмови даного елемента, включеного у систему, дорівнює . Скільки необхідно включити паралельно елементів цього типу в систему, щоб підвищити її надійніість до , тобто, щоб такою була ймовірність безвідмовного спрацювання хоча б одного елемента.

Розв’язання. Позначимо шукане число елементів через , тоді ймовірність безвідмовного спрацювання хоча б одного з елементів, паралельно включених у систему, дорівнює

а за умовою задачі ця ймовірність дорівнює . Отримаємо показникове рівняння

Оскільки число елементів повинно бути цілим, то візмемо . Це означає, що при паралельному включенні трьох елементів у систему на 1000 випробувань в середньому можливі три відмови, в той же час як при одному елементі в системі на 1000 випробувань в середньому можна було б очікувати 100 відмов.

Приклад 3. Три стрільці роблять по вистрілу по цілі. Ймовірність влучення в ціль першого стрільця (подія ) дорівнює , другого стрільця (подія ) – , третього (подія ) - . Знайти ймовірності таких подій:

1) у ціль влучили всі три стрільці (подія );

2) у ціль влучили тільки 2 стрільці (подія );

3) у ціль влучив тільки 1 стрілець (подія );

4) у ціль не влучив жоден із стрільців (подія );

5) у ціль влучив хоча б один стрілець (подія ).

Розв’язання. Побудуємо повну групу подій. Позначимо через відповідні протилежні події, тобто промахи кожного із стрільців. Тоді повна група складається із таких подій: