 |
|
Теорема множення ймовіріностей залежних подій
Нехай події 
і 
- залежні, причому відомі ймовірності появи події , а також появи події за умови, що подія вже відбулася, 
. Необхідно знайти ймовірність одночасної появи подій і , тобто ймовірність добутку цих подій 
.
Теорема. Ймовірність одночасної появи двох залежних подій і дорівнює добутку ймовірності появи однієї із них на умовну ймовірність другої, знайдену за умови, що перша подія вже відбулася, тобто
. (1)
Доведення дамо, виходячи з класичного означення ймовірності. Нехай 
- число всіх випадків, при яких може появитись випадкова подія , 
- число сприятливих для події випадків, 
- число випадків, які сприяють одночасній появі обох подій і , тоді
,
тобто
.
Аналогічно
.
Із останніх двох співвідношень маємо:
. (2)
Приклад 1. В урні 3 білих і 4 чорних кульки. Із урни двічі виймають по одній кульці, не повертаючи їх в урну. Знайти ймовірність, що одна з кульок біла (подія ), а друга чорна (подія ), незалежно від порядку їх появи
Розв’язання розділимо на дві частини, як це зроблено у прикладі 1 параграфа 3.4.
1) Знайдемо ймовірність вибору спочатку чорної кульки (подія )
,
а тоді умовну ймовірність білої кульки, за умови, що чорна кулька появилась,
.
За теоремою
,
2) Знайдемо ймовірність появи білої кульки
,
а тоді умовну ймовірінсть чорної, за умови, що біла кулька появилась,
.
За теоремою
.
Оскільки за умовою задачі шукається ймовірінсть незалежно від порядку появи білої чи чорної кульок, далі застосовується теорема додавання несумісних подій, тобто
.
Зауважимо, що у процесі розв’язання ми отримали підтвердження формули (2), тобто
.
ІІ-й спосіб розв’язання прикладу 1. Розглянутий приклад можна розв’язати за допомогою комбінаторики. Із 7 кульок вибирається по дві, кількість виборів це число комбінацій із 7 по 2, тобто 
.
Сприятливих випадків буде 
. За класичним означенням ймовірності
.
Зауваження. Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість сумісної появи залежних подій 
. (3)
Приклад 2. Є набір із 5-ти карточок, серед них дві з буквами а і по одній з буквами к, р і т. Знайти ймовірінсть того, що при випадковому виборі по одній букві можна буде викласти слово “карат”
Розв’язання. Спочатку вибираємо букву к, вона одна із п’яти карточок 
, потім з решти чотирьох карточок вибираємо букву а (їх дві), за умови, що буква к вже вибрана, тобто
.
Аналогічно
;
;
Відповідь. Ймовірність слова “карат” 
.