 |
|
Формула повної ймовірності
Нехай подія 
може наступити за умови появи однієї із несумісних подій 
, які утворюють повну групу, причому відомі ймовірності появи кожної з них 
. Нехай також відомі ймовірності події за умови появи кожної із подій 
. Необхідно знайти ймовірність 
появи події .
Теорема. Ймовірність події , яка може відбутися лише за умови появи однієї із несумісних подій , які утворюють повну групу, обчислюється за фомулою:
(1)
Формула (1) називається формулою повної ймовірності.
Доведення. Ймовірність події , яка може наступити, якщо з’явиться одна із несумісних подій , тобто настання означає здійснення однієї, байдуже якої із несумісних подій 
, або ж
.
Тоді за теоремою додавання несумісних подій маємо:
, (2)
а за теоремою множення ймовірностей залежних подій
.
Враховуючи (2) і останні співвідношення отримаємо формулу (1).
Події по відношенню до події називаються гіпотезами.
Приклад 1. На склад надходять однотипні деталі з трьох автоматів, причому перший автомат дає 20%, другий – 30%, третій – 50% всієї продукції за зміну. Серед продукції першого автомата може бути 0,2% браку, другого – 0,3%, третього – 0,1%. Знайти ймовірність, що навмання взята деталь буде бракованою.
Розв’язання. Позначимо через 
події “деталь відповідно виготовлена на першому, другому і третьому автоматах”. Їх ймовірності
Подію “бракована деталь” позначимо через . Згідно із змістом задачі відомі умовні ймовірності
За формулою (1) повної ймовірності маємо:
.
Приклад 2. Один цар, якому надоїв його провісник із своїми не завжди правдивими віщуваннями, вирішив його казнити, але будучи справедливим, вирішив дати провіснику останній шанс. Йому велено було розкласти по двох урнах чотири кульки, із яких дві чорні і дві білі. Кат вибирає наугад одну із урн і з неї навмання виймає кульку, якщо кулька чорна – стратять, біла – помилують. Яким чином провісник росподілив кульки в урнах, щоб забезбечити собі максимальну ймовірність на спасіння.
Розв’язання зрозуміло зі схеми
 |
Вважається, що вибір кожної з урн – рівноможливий: 
. Умовна ймовірність появи білої кульки із першої урни 
, для другої - 
.
Нехай подія - “вийняти навмання з будь якої урни білу кульку”, тоді 
.
Отже, максимальний шанс на спасіння для просвісника - 
.