 |
|
Задачі на повну ймовірність
1. У групі 20 плавців, 6 велосипедистів і 4 легкоатлети. Ймовірність виконати кваліфікаційну норму така: для плавця 0,9, для велосипедиста – 0,8 і для легкоатлета – 0,75. Знайти ймовірність, що спортсмен, вибраний наугад, виконає кваліфікаційну норму.
2. Складальник отримує 3 коробки деталей виготовлених заводом №1, і 2 коробки деталей, виготовлених заводом №2. Ймовірність того, що деталь виготовлена заводом №1, стандартна дорівнює 0,8, а заводом №2 – 0,9. Складальник наугад дістає деталь із наугад взятої коробки. Знайти ймовірність того, що деталь – стандартна.
3. У телевізійному ателье є 4 кінескопи. Ймовірності того, що кінескоп витримає гарантійний термін служби, відповідно дорівнюють: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що взятий наугад кінескоп витримає гарантійний термін служби.
4. В ящик, який містить 3 однакові деталі, кинута стандартна деталь, а тоді наугад вийнята одна деталь. Знайти ймовірність того, що вийнята деталь стандартна, якщо рівноможливі всі можливі припущення про число стандартних деталей, які знаходяться в ящику напочатку.
Відповіді: 1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
Формула Бейєса
Нехай подія 
може наступити за умови появи однієї із несумісних подій 
, які утворюють повну групу, тоді має місце формула (1) (див. 3. 7.). Припустимо, що подія вже відбулася, необхідно знайти умовні ймовірності 
здійснення подій 
. За теоремою множення залежних подій (див. 3.5, формула (2)), наприклад, для гіпотези 
маємо:
,
звідки
,
де 
обчислюється за формулою повної ймовірності (див. 3.7. формула (1)). У загальному вигляді для 
-тої гіпотези 
запишемо:
. (1)
Рівність (1) називається формулою перерахунку ймовірностей гіпотез або просто формулою Бейєса. Формула Бейєса показує, яку відносну частину складає ймовірність окремо взятого доданка у загальній сумі всіх 
доданків, які складають значення повної ймовірності всіх подій, тобто, якщо подія вже відбулася, то ми знаходимо ймовірність того, що це могло статися завдяки появі конкретної події 
.
Приклад 1. На склад поступають однотипні деталі із трьох автоматів, причому, за зміну 50% виробляє перший автомат, 30% - другий, і 20% - третій. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому автоматі 0,1%, на другому – 0,2%, на третьому – 0,05%. Взята навмання деталь виявилась бракованою. Знайти ймовірність, що бракована деталь виготоовлена 1) на першому автоматі; 2) на другому автоматі; 3) на третьому автоматі.
Розв’язання. Нехай подія - виявлення бракованої деталі, 
- події “деталь виготовлена відповідно на першому, другому, або на третьому автоматі”. Ймовірності цих подій за умовою задачі 
; 
; 
, умовні ймовірності події 
; 
; 
. Знайдемо повну ймовірність браку
.
Тепер за формулою Бейєса знаходимо ймовірність того, що бракована деталь виготовлена першим автоматом 
,
другим автоматом 
,
третім автоматом 
.
Порівнюючи ймовірності отриманих гіпотез, ми бачимо, що більшої уваги щодо покращення загальної якості продукції вимагає другий автомат.
Приклад 2. На полюванні двоє мисливців, зробивши по одному пострілу, одним влученням застрелили ведмедя. Ймовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,8, для другого – 0,7. За шкуру ведмедя була виручена сума 570 умовних одиниць. У яких розмірах мисливці повинні розділити виручену суму?
Розв’язання. Нехай подія - “ведмідь застрелений одним влученням”, події і 
влучення у ціль відповідно першим і другим мисливцями, 
і 
- їхні промахи. За умовою задачі ймовірності цих подій дорівнюють 
, 
, 
.
Подію можна виразити так:
,
Тоді ймовірність події
.
Знайдемо ще ймовірності гіпотез
і 
.
Тепер виручену суму 570 умовних одиниць потрібно розділити пропорціонально числам 
. Сума, яка належить першому мисливцю дорівнює 
(ум. од.), другому - 
(ум. од.)