 |
|
Ймовірність відхилення відносної
частоти від заданої ймовірності
Нехай відомо, що ряд випробувань є незалежним по відношенню до події 
, причому відомо, що ймовірність появи події при одному випробуванні є сталою і дорівнює 
. Припустимо, що здійснено 
випробувань і при цьому подія з’явилась 
раз, тобто відома відносна частота 
події при цих випрбуваннях. При проведенні серій багатократних випробувань відносні частоти в основному повинні бути близькими до ймовірності , тобто потрібно оцінити абсолютну величину різниці 
. Щоб оцінити наскільки величина є суттєвою, задають певну межу 
цієї величини і знаходять ймовірність нерівності 
, тобто ймовірність 
.
Для знаходження записаної ймовірності, виконаємо ряд тотожних перетворень, а саме
.
При тотожних перетвореннях ймовірність не змінюється, тобто
.
Приймаючи 
, 
, застосуємо до останньої ймовірності інтегральну формулу Лапласа (див. 4.5 формула (2)), де
,
,
маємо
.
Отже, ймовірність того, що відносна частота відхиляється від даної ймовірності менше, ніж на , обчислюється за формулою:
(1)
де значення функції 
знаходиться по таблиці 2 (див. Додаток).
Приклад 1. Ймовірність виготовлення деталі з дефектом на даному автоматичному пристрої дорівнює 0,08. Визначити ймовірність того, що серед 1000 деталей відхилення від даного процента браку не перевищуватиме 0,01.
Розв’язання. За умовою задачі 
, 
, 
; 
. Знаходимо шукану ймовірність за формулою (1)
.
Приклад 2. Відомо, що несхожість насіння пшениці даного запасу становить 8%. Скільки потрібно висіяти для контролю зерен пшениці, і у яких межах може міститись число зерен, що не дали схожості, як що відхилення відносної частоти їх від заданої ймовірності несхожості не перевищувала 0,01 із ймовірністю 0,9596?
Розв’язання. За умовою задачі
. Знайти , 
і 
, якщо
.
За формулою (1) маємо 
, або 
. За таблицею 2 додатку заходимо, що 
, якщо 
. Отже, із рівняння
Знаходимо 
.
Тепер розв’яжемо нерівність відносно
.
Отже, якщо схожість зерен не зміниться 
, то потрібно висіяти 3100 зерен і число можливих зерен, що не дадуть схожості, повинно бути в межах від 217 до 279, при цьому ймовірність того, що відхилення відносної частоти від заданої ймовірності несхожості не перевищує 
, дорівнює 
.
Задачі на ймовірність відхилення відносної частоти від заданої ймовірністі
1. Імовірність появи події у кожному з 625 незалежних випробувань дорівнює 
. Знайти імовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її імовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на .
2. Посіяно 
насінин гороху з імовірністю проростання 
для кожної насінини. 1) Знайти значення абсолютної величини відхидення частоти пророслих насінин від ймовірності , якщо ця величина повинна гарантуватися з імовірністю 
. 2) Встановити, у яких межах при цьому буде знаходитись кількість пророслих зерен.
3. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань 
. Знайти число дослідів , при якому з імовірністю 
можна стверджувати, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,02.
4. Відділ технічного контролю перевіряє 900 деталей на стандартність. Імовірність того, що деталь нестандартна, дорівнює . Знайти з ймовірністю 
межі, в яких буде міститися число стандартних деталей серед перевірених.
Відповіді. 1. 
. 2. 1) 
; 2) 
. 3. 
. 4. 
.
Формула Пуассона
Якщо число випробувань - велике, а ймовірність появи події при одному випробуванні – мала, то для знаходження ймовірності того, що подія з’явиться раз, використовується наближена формула Пуассона:
, де 
. (1)
Приклад 1. Завод відправив на склади споживачам 5000 доброякісних виробів, ймовірність того, що при транспортуванні вироби можуть зіпсуватися дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність, що при транспортуванні зіпсуються три вироби.
Розв’язання. За умовою задачі 
, 
, 
, тоді . За формулою Пуассона
.
Приклад 2. Прядильниця обслуговує 1000 веретен.
Ймовірність розриву нитки на одному веретені за 1 хвилину дорівнює 0,003. Знайти ймовірності: 1) за хвилину відбудеться не більше 4-х розривів; 2) за хвилину відбудеться не менше 5 розривів.
Розв’язання. За умовою задачі 
, тоді 
. Необхідно знайти ймовірність 
. За теоремою додавання ймовірностей
.
Застосуємо до кожного з доданків формулу (1)
.
2) Оскільки для ймовірностей маємо
,
то
.
Задачі на формулу Пуассона
1. Якщо в середньому лівші складають 1%, то чому дорівнює ймовірність, що серед 200 людей: а) виявиться четверо лівшів: б) знайдеться хоча-б четверо лівшів.
2. Комутатор установи обслуговує 100 абонентів. Імовірність того, що протягом однієї хвилини абонент подзвонить на комутатор, дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини подзвонять: а) рівно 3 абоненти; б) менше від трьох абонентів; в) більше від 3-х абонентів; г) хоча-б один абонент.
3. Радіотелеграфна станція приймає цифровий текст. Внаслідок перешкод ймовірність помилкового прийому довільної цифри не змінюється протягом всього прийому і дорівнює 0,01. Вважаючи прийом окремих цифр незалежними подіями, знайти ймовірність того, що в тексті, який містить 800 цифр, буде 5 помилок.
4. В автобусному парку 70 автобусів. Відомо, що ймовірність виходу з ладу двигуна протягом дня дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що у визначений день виявляться несправними двигуни в чотирьох автобусах.
Відповіді. 1. а) 
; б) 
. 2. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
. 3. 
. 4. 
.
Задачі до глави IV
1. Схожість насіння жита дорівнює 90%. Чому дорівнює ймовірність, що із посіяних 7 зерен зійде 5?
2. На даному підприємстві продукція вищої якості складає 30%. Магазин придбав 6 виробів. Яка ймовірність того, що 4 з цих виробів мають вищу якість?
3. Монета підкидається 6 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не більше 3 раз.
4. Скільки раз потрібно підкинути гральний кубик, щоб найімовірніше число випадання двійки дорівнювало 32?
5. Ймовірність відмови кожного з приладів дорівнює 0,4. Що ймовірніше очікувати: відмову двох приладів при 4 випрбуваннях чи відмову 3 приладів у 6 випрбуваннях.
6. Оптова база постачає товари 10 магазинам, від кожного з яких може поступити заявка на поточний день з ймовірністю 0,4, незалежно від заявок інших магазинів. Знайти: а) найімовірніше число заявок на поточний день; б) ймовірність виконання цього числа заявок.
7.Гральний кубик підкидається 800 раз. Яка ймовірність того, що число очок, кратне 3, випало 267 раз?
8.Ймовірність того, що покупцеві потрібне взуття 41-го розміру, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність, що серед 100 покупців взуття 41-го розміру затребують:
а) 25 покупців;
б) не більше 30 покупців;
в) не менше 35 покупців.
9. Ймовірність того, що на сторінці книги можуть бути описки, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що книга з
500 сторінок буде мати:
а) 5 сторінок з описками;
б) від 3 до 5 сторінок з описками.
10. В середньому шоста частина автомобілів, які поступають на продаж, некомплектні. Знайти ймовірність того, що серед шести автомобілів мають некомплектність: а) три автомобілі; б) менше трьох.
11. В середньому 10% договорів страхова компанія виплачує страховую суму. Знайти ймовірність того, що із десяти договорів з появою страхового випадку буде пов’язано з виплатою страхової суми: а) чотири договори; б) менше чотирьох договорів.
12. Припускається, що 20% нових малих підприємств, які відкриваються, протягом року припиняють свою діяльність. Яка ймовірність того, що із семи малих підприємств не більше трьох припинять свою діяльність протягом року?
13. Десята частина банків має статутний фонд 20 млн. грн. Знайти ймовірність того, що серед 500 банків статутний фонд більше 20 млн.грн. мають: а) менше 100; б) від 100 до 200.
Відповіді:
1. 0,124.2. 0,06. 3.21/32. 4.191 £ n £ 197. 5.Р4(2)>Р6(3). 6. а) 4; б) 0,25. 7.0,03. 8. а) 0,00457; б) 0,994; в) 0,0009. 9.а) 0,036; б) 0,08. 10. а) 0,053. 11. а) 0,0112; б) 0,9872. 12. 0,9642.