Главная | Обратная связь

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Глава V

Дискретні і неперервні випадкові величини

Означення 1. Випадковою величиною називається така величина, яка в результаті досліду (випробування) може набувати того чи іншого значення (якого саме – заздалегідь невідомо).

Випадкові величини прийнято позначати останніми великими буквами латинського алфавіту X, Y, Z і т.п..

Прикладом випадкових величин можуть бути:

1. Число очок, що випало на грані грального кубика. Ця величина випадкова, може приймати значення: 1,2,3,4,5,6.

2. Значення оцінки на іспиті можуть бути: “2”, “3”, “4”, “5”. Це значення випадкової величини.

3. Довжина стовпчика термометра – випадкова величина, яка залежить від температури навколишнього середовища.

4. Значення діаметра виточеного на токарному станку вала.

5. Кількість студентів даного потоку, присутніх на лекції.

6. Кількість пасажирів у вагоні трамвая.

Серед випадкових величин розрізняють дискретні і неперервні.

Означення 2. Дискретною випадковою величиноюназивається така величина, яка приймає окремі ізольовані значення, які можна занумерувати.

До дискретних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених вище прикладах 1, 2, 5, 6.

Множина можливих значень дискретної випадкової величини може бути скінченною або нескінченною зліченою множиною.

Означення 3. Неперервною випадковою величиноюназивають таку величину, яка може приймати всі значення з деякого скінченного або нескінченного проміжку.

До неперервних випадкових величин можна віднести ті, які описані у наведених прикладах 3 і 4.

Множина можливих значень неперервної випадкової величини нескінченна і незлічена.

 

Закон розподілу дискретної випадкової величини

Нехай дискретна випадкова величина Х може приймати n значень: х₁, х₂,..., х_n. Будемо вважати, що всі вони різні (в інакшому випадку їх потрібно об’єднати). Крім того, будемо вважати, що вони розміщені у зростаючому порядку.

Для повної характеристики дискретної випадкової величини, крім переліку всіх її значень, повинні задаватись ймовірності , з якими випадкова величина приймає кожне з них, тобто .

Означення.Функція р(х), яка кожному значенню випадкової величини х_і ставить у відповідність величину ймовірності р_і, називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Її зручно задавати у вигляді таблиці такого вигляду:

Таблиця 1

Значення Х			...		...
Ймовірності			...		...

 

Це – таблиця розподілу дискретної випадкової величини, її також називають законом розподілу дискретної випадкової величини.

Події х₁, х_{2, ...,} х_n є несумісними і єдино можливими, тобто вони утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці:

(1)

Ймовірності обчислюються або за даним значенням випадкової величини , або даються за відомим законом розподілу . Нагадаємо, що один з прикладів закону розподілу ми розглядали раніше (див.4.1,табл.2 і рис.1).

Приклад.Ймовірність здати іспит на “5” для кожного із шести студентів однакова і дорівнює 0,4. Випадковою величиною Х є число студентів, які здали іспит на “5”. Скласти закон розподілу числа студентів, які здали екзамен на “5”.

Розв’язання. Випадкова величина Х може приймати значення: 0,1,2,3,4,5,6. Відповідні ймовірності у даному випадку можна знайти з формулою Бернуллі (1)(див.4.1) при n=6; p=0,4; q=0,6 і m=0,1,2,3,4,5,6.

Отже, знаходимо при

Х=m=0 P₀=C₆⁰(0,4)^{0 .}(0,6)⁶ » 0,047;

X=m=1 P₁=C₆¹ (0,4)^{1 .} (0,6)⁵ » 0,181;

X=m=2 P₂=C₆²(0,4)^{2 .} (0,6)⁴ » 0,311;

X=m=3 P₃=C₆³(0,4)^{3 .} (0,6)³ » 0,276;

X=m=4 P₄=C₆⁴(0,4)^{4 .} (0,6)² » 0,138;

X=m=5 P₅=C₆⁵(0,4)^{5 .} (0,6)¹ » 0,037;

X=m=6 P₆=C₆⁶(0,4)^{6 .} (0,6)⁰ » 0,004.

Закон розподілу даної випадкової величини має вигляд:

Хі
Рі	0,047	0,187	0,311	0,276	0,138	0,037	0,004