Главная | Обратная связь

Задачі на математичне сподівання

У задачах 1-3 до параграфа 5.2. знайти математичні сподівання.

Відповіді: 1. 0,5. 2. 2,5. 3. 1,8.

 

 

5.3.2. Дисперсія. Властивості дисперсії. Середнє квадратичне відхилення

 

Поняття дисперсії вже розглядали для вибірок (див. глава ІІ),

відмітимо ще одну властивість математичного сподівання.

Теорема. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання дорівнює нулю, тобто

М(Х-М(Х))=0.

Доведення. Скористаємось спочатку властивістю 4, а тоді 1 і 2, маємо:

М(Х-М(Х))=М(Х)-М(М(Х))=М(Х)-М(Х)=0.

Тому це відхилення (Х-М(Х) у подальшому не розглядають, як характеристику розсіювання випадкової величини. У цьому випадку прийнято вивчати квадрат відхилення (Х-М(Х))².

Означення 1. Дисперсією або розсіюванням дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, позначається:

D(X)=M[(X-M(X))²] (1)

Якщо для скорочення позначимо М(Х)=а і врахуємо означення математичного сподівання (див. 5.3.1, формула (1)), то вираз для дисперсії D(Х) із формули (1) можна записати у розгорнутому вигляді так:

(2)

Формула (2) незручна при обчисленнях, тому перетворимо її і дамо в більш зручному вигляді.

Оскільки (див. 5.2., формула (1)), і (див. 5.3.1, формула (1)), то ввівши позначення

(3)

отримаємо далі:

 

Таким чином, остаточно отримали:

D (Х)=М(Х²)-(М(Х))², (4)

де М(Х²) – математичне сподівання квадрата випадкової величини, знаходиться за формулою (3), а М(Х) – математичне сподівання за формулою (1) (див. 5.3.1)

Приклад. Знайти дисперсію випадкової величини, заданої законом розподілу

Х
Р	0,1	0,6	0,3

Розв'язання. Знайдемо спочатку математичне сподівання

М(Х)=2·0,1+3·0,6+5·0,3=3,5.

Тепер знайдемо математичне сподівання квадрата випадкової величини

М(Х²)=2²·0,1+3²·0,6+5²·0,3=4·0,1+9·0,6+25·0,3=13,3.

За формулою (4) маємо

D (Х)=13,3-(3,5)²=13,3-12,25=1,05.

Розглянемо основні властивості дисперсії.

Властивість 1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю.

D(С)=0.

Дійсно,

D (С)=М(С²)-(М(С))²=С² - С²=0.