 |
|
Біномінальний розподіл
Біномінальний є розділ ймовірностей появи m числа подій при n незалежних випробуваннях, в кожному з яких поява події А при одному випробуванні є сталою і дорівнює p. Ймовірність можливого числа появи події обчислюється за формулою Бернуллі.
, де q=1-p.
Сталі n і p, які входять у цей вираз, є параметрами біномінального закону розподілу, m – випадкова величина.
Біномінальний розподіл може бути заданий у вигляді таблиці (див. §4.1.)
| … | 
| |||
| 
| 
| 
| 
|
і у вигляді функції розподілу
Теорема1. Математичне сподівання біномінального розподілу знаходиться за формулою:
M(X)=np. (1)
Доведення. Згідно означення математичного сподівання для дискретної випадкової величини
.
У нашому випадку отримуємо:
. (2)
Для обчислення суми (2) скористаємось формулою Ньютона
. (3)
Припустимо, що р – неперервна змінна, візьмемо похідну по змінній р у рівності (3):
. (4)
Врахуємо, що p+q=1Þ (p+q)n-1=1, а також домножимо рівність (4) на р. Отримаємо рівність (2):
.
Теорема 2. Дисперсія біномінального розділу знаходиться за формулою:
D(Х)=npq. (5)
Доведення. Виходячи із формули (4) (див. 5.3.2)
D(Х)=M(X2)-(M(X))2,
ми повинні спочатку знайти математичне сподівання квадрата випадкової величини
. (6)
Для цього продиференціюємо ще раз по р рівність (4), маємо
.
Домножимо останню рівність на р2 і урахуємо, що
(p+q)n-2=1, тоді далі запишемо:
.
Оскільки
, а 
,
то
Тоді
Теорема доведена.
Середнє квадратичне відхилення для біномінального розподілу дорівнює
. (7)
Без доведення випишемо показники асиметрії А і ексцеса Е для біномінального розподілу:
, (8)
(9)
На рис. 1 побудовані многокутники біномінального розподілу при n=5 і р=0,2; 0,3; 0,5; 0,7 і 0,8
Рис.1
Особливістю цих розподілів є те, що ймовірність спочатку зростає при збільшенні m і досягає найбільшого значення при найімовірнішому значенні 
, яке, як відомо (див. 4.3), знаходиться із подвійної нерівності
.
Значення 
є модою біномінального розподілу
Так ламана лінія, для якої р=0,2 досягає найбільшого значення при найімовірнішому m0=1, а тоді її ймовірності спадають (див. рис. 1), а починаючи з 
точки графіка цієї ламаної асимптотично наближаються до осі абсиц, майже зливаються з нею.
Ламана для р=0,8 симетрична з розглянутою ламанаю для р=0,2 відносно прямої m=2,5. Розміщення решти графіків зрозуміло з рис. 1.
Розподіл Пауссона
Ми вже відмічали раніше, що при вивченні повторних незалежних випробувань, в залежності від величини чисел n і m ймовірності таких подій можна обчислювати за формулою Бернуллі або локальною формулою Муаврв-Лапласа. Якщо ж число випробувань n досить велике, а ймовірність р появи події 
при одному випробуванні мала, то при l=np£10 застосували наближену формулу Пуассона:
, де l=np (1)
Відмітимо, що виведення формули Пуассона проводиться у припущенні, що число l=np залишається сталим. Якщо припущення l=const залишити в силі, то у правій частині формули (1) число m може приймати значення 0, 1, 2, 3, .... Побудований таким чином розподіл носить назву закону Пуассона.
Закон Пуассона описує число подій m, що проходять за однакові проміжки часу за умови, що події відбуваються незалежно одна від одної із сталою інтенсивністю l. При цьому число випробувань n велике, а ймовірність появи події р у кожному із випробувань мала. Тому закон Пуассона називається ще законом розподілу рідкісних явищ.
Серед прикладів випадкових величин, розподіл ймовірностей яких підпорядковується закону Пуассона, можна назвати: число дзвінків по телефону за певний проміжок часу, число бракованих виробів і т.ін.
Закон розподілу Пуассона може бути заданий у вигляді ряду розподілу:
Таблиця 1.
| Х=m | … | m | … | ||||
| P(m) | 
| 
| 
| 
| … | 
| … |
Теорема 1. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, обчислюється за формулою:
М(Х)= l=np (2)
Доведення. Враховуючи означення для М(Х) і формулу (1) або Таблицю 1. розподілу, маємо
.
Тут використано розклад 
у степеневий ряд.
Теорема 2. Дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, обчислюється формулою:
D(Х)= l=np. (3)
Доведення. Дисперсію знаходимо за формулою:
D(Х)=М(Х2)-((М(Х))2
Математичне сподівання М(Х)= l=nр – вже відоме.
Щоб знайти математичне сподівання М(Х2) квадрата випадкової величини, складаємо відповідну відносно квадратів таблицю.
Таблиця 2.
| Х2=m2 | 02 | 12 | 22 | 32 | … | m2 | … |
| P(m) | 
| 
| 
| 
| … | 
| … |
Тоді
Перетворимо загальний член цієї суми:
Отже,
.
Тому
.
Характерною особливістю розподілу Пуассона є рівність математичного сподівання і дисперсії.
Вирази для асиметрії і ексцеса для розподілу Пуассона мають вигляд:
, (4)
. (5)
На рис. 2 подані многокутники розподілу Пуассона, які відповідають різним значенням параметра 
.
Рис.2
Задачі до глави V
1.Стрілець, маючи три патрони, стріляє до першого влучення в ціль. Ймовірність влучення при кожному з вистрілів дорівнює 0,7. Знайти закон розподілу числа зроблених вистрілів.
2.Гравець має у запасі 4 жетони для грального автомата і грає до першого виграшу. Ймовірність виграшу на один жетон дорівнює 0,6. Побудувати закон розподілу числа використаних жетонів. Знайти математичне сподівання числа використаних жетонів.
3.Можливі значення випадкової величини такі:
х1=2, х2=5, х3=8. Відомі ймовірності: Р(х=2)=0,4, Р(х=5)=0,15. Знайти Р(х=8).
4.Випадкова величина Х розподілена за законом:
| xi | |||||
| pi | 1/4 | 1/8 | 1/4 | 1/8 | 1/4 |
Знайти: а) Р(Х£3); б) Р(2£Х£5); в)Р(1£Х£4); г) Р(Х³2).
5.За законом розподілу випадкової величини
| xк | |||||
| pк | 1,5а2 | а2 | а | а | 0,5 |
Знайти: а) а; б) Р(Х£3); в) Р(Х<4); г) найбільше значення к, при якому Р(х³к)>0,75.
6.Скласти закони розподілу таких випадкових величин: 1) числа попадань м'ячем у корзину при чотирьох спробах, якщо ймовірність попадання при кожній із спроб 0,7; 2) числа очок, що випали, при підкиданні грального кубика; 3) числа гербів, що випали при трьох підкиданнях монети; 4) кількість дільників натурального числа, вибраного навмання від 1 до 10.
7.При влученні у сектор І стрілець отримує 10 копійок, у сектор ІІ – 20 коп., у сектор ІІІ-35 коп., сектори вважаються однаковими. За право стріляти один раз стрілець платить 25 коп. Скласти закон розподілу чистого виграшу стрільця: 1) при одному вистрілі; 2) при двох вистрілах.
8.Мішень установлена так, що може обертатись навколо осі. При попаданні в сектор 1 стрілець виграє 1 грн. в сектор 2 – 2 грн. і т.д., в сектор 8 –8 грн. Якщо кутова швидкість обертання мішені досить велика, то стрілець не взмозі розібрати цифри, тому він стріляє навмання. Чи буде гра безпрограшною, якщо за право стріляти один раз потрібно платити 5 грн.?
9.Число заявок, які поступають у 2 пральні за 1 годину, мають відповідно закони розподілу:
| Xi(1.2) | |||||
| Pi(1) | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,4 |
| Pi(2) | 0,1 | 0,15 | 0,15 | 0,25 | 0,35 |
а) Яка з пралень більше завантажена роботою?
б) Знайти середнє число заявок, які поступають у першу пральню за 7 годин?
в) Яке середнє число заявок поступає в обидві пральні за одну годину?
10.Випадкова величина Х має закон розподілу
| xк | ||||
| pк | 0,3 | 0,1 | 0,4 | 0,2 |
Знайти D(3X-2): 1) попередньо склавши закон розподілу випадкової величини 3х-2; 2) використовуючи властивості дисперсії.
11. З рекламною метою торгова фірма вкладає в кожну 5-ту одиницу товару грошовий приз у размірі 100 грн. Скласти закон розподілу випадкової величини – розміру виграшу при 3-х покупках. Знайти математичне сподівання виграшу.
12. У акціонера є три акції. Знайти закон розподілу числа акцій, за якими він може отримувати дохід, якщо ймовірність отримання доходу відповідно дорівнює 0,4, 0,5 і 0,6 .Знайти математичне сподівання даної випадкової величини.
Відповіді. 3. 0,45. 4. а)5/8; б)1/2; в) 3/4. 5. а) 0,12; б)0,9; в) 0,3; г) 3. 9. а) перша; б) ~20; в) 5,45. 10. 11,25. 10. 60. 12.1,5.