Диференціальна функція розподілу, її властивості
Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х F(x) диференційовна. Означення. Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто (1) Властивість 1. Диференціальна функція невід’ємна: . Доведення.Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від не спадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу. Властивість 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення із інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від до , тобто: Із наслідку 2 параграфа 6.1 маємо: Якщо покласти у формулі (2) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то можна записати: Розділивши почленно в останній рівності на , отримаємо: Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при то отримаємо: . - щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцією розподілу або щільниістю розподілу. Приклад 1. Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення із інтервалу (0, 5; 1), якщо диференціальна функція дорівнює: Розв’язання. За формулою (2) . Властивість 3. Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну: (3) Доведення. Покладемо у формулі (4) маємо Приклад 2. Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією: Розв’язання. Якщо , то f(x)=0 F(x)=0. Якщо , то Якщо ж , то Властивість 4. Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці: (4) Доведення. Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці. Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для ститстичного ряду. Приклад 3. Диференціальна функція розподілу випадкової величини задана рівністю , знайти параметр а.
Розв’язання. За формулою (4) бо
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|