Главная | Обратная связь

Математичне сподівання

Нехай неперервна випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(х).

Припустимо, що всі значення Х належать відрізку [a,b] . Розіб’ємо цей відрізок на m частин Δх₁, Δх_{2, ..} Δх_n, які не перетинаються і . Виберемо на кожному із елементарних відрізків по одній

точці ). Користуючись формулою математичного сподівання для дискретної випадкової величини , запишемо наближене значення математичного сподівання величини:

(1)

Суму (1) можна розглядати , як інтегральну суму , тому, переходячи до границі при отримаємо формулу математичного сподівання неперервної випадкової величини:

. (2)

Якщо неперервна випадкова величина задана на всій числовій осі , тобто , то :

(3)

 

6.4.2 Дисперсія. Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини

Означення.Дисперсією неперервної випадкової величини Х , заданої на відрізку [а,b] , називається математичне сподівання квадрата відхилення її значення від математичного сподівання

 

. (1)

Аналогічно для випадку , коли

(2)

Після перетворення інтегралу (1) отримаємо :

.

Якщо ж позначити

,

то формула (1) перепишеться

D(X)=M(X²)-(M(X))² . (3)

Аналогічним буде вираз для дисперсії, якщо , тільки треба брати

а М(Х) за формулою (3) із 6.4.1.

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини дорівнює:

. (4)

Приклад.Знайти математичне сподівання і дисперсію неперервної випадкової величини , заданої інтегральною функцією F(x) , якщо

Розв’язання .Знайдемо відповідну диференціальну функцію

тоді

.

 

Задачі до глави VI

 

1. Дана функція розподілу випадкової величини

.

Знайти : 1) с,b; 2) щільність розподілу f(x) ; 3) P(α<X<β).

2. Дана функція розподілу випадкової величини

 

Знайти : 1) P(1,75<x<2); 2) P(1,7<x<1,9).

 

3. Задана функція розподілу випадкової величини

 

Знайти: а) P(1,5<Х<2,5); б) P(2,5<Х<3,5).

 

4. Задана функція

 

Перевірити, чи f(x) є щільністю розподілу. Якщо так, то знайти М(Х) і D(X).

 

1. Випадкова величина підпорядкована закону розподілу із

щільністю

 

Необхідно: 1) Знайти параметр ; 2) Побудувати графік функції f(x) ; 3) Знайти функцію F(x) і побудувати її графік; 4) Знайти P(1<x<2).

 

1. Дана функція

 

Необхідно: 1) підібрати так, щоб була щільністью розподілу випадкової величини ; 2) знайти .

 

7. Дана функція

Знайти F(x).

8. Для знайти с таким , щоб f(x) була щільністю розподілу.

 

Відповіді

1. ; ;2.1) 0,5;2)0,4. 3) а) 0,5; б) 0,25.

4. 1) так; 2) ; 3) .

5.1) ; 4) 6. ;8. .