Главная | Обратная связь

Нормальний розподіл (розподіл Гаусса).

Глава VII

7.1. Закони розподілу неперервних випадкових величин

Закон рівномірного розподілу ймовірностей

Означення.Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі , якому належать всі можливі значення випадкової величини , диференціальна функція має стале значення (рис.1).

y

 

f(x)=C

C

 

0 a b x

Рис.1.

Диференціальна функція рівномірного розподілу має вигляд:

де С=сonst;

Оскільки для щільності , то для проміжка (a,b) маємо

+ + =

С(b-a)=1 .

Отже,

.

 

Числові характеристики рівномірного закону розподілу

Математичне сподівання

 

1. Математичне сподівання :

. (1)

2. Дисперсія : D(Х)=М(Х²) - (М(Х))² ,

3. Середнє квадратичне відхилення:

 

Показниковий розподіл

Показниковийабо експоненціальний розподіл – це розподіл, який описується функцією :

де l>0 , стала додатна величина .

Знайдемо інтегральну функцію показникового розподілу

 

Числові характеристики показникового закону розподілу

1. Математичне сподівання :

.

2. Дисперсія:

(2)

1. Середнє квадратичне відхилення :

(3)

 

Із формул (1) і (3) бачимо, що для показникового закону розподілу математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення збігаються.

Графіки диференціальної і інтегральної функції розподілу показникового закону подані на рисунках:

 

 

Нормальний розподіл (розподіл Гаусса).

Нормальна крива

Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величина х , який описується на всій числовій осі диференціальною функцією (щільністю)

(1)

де а і параметри нормального розподілу , смисл яких розкриємо нижче.

Зокрема, якщо а=0, а , то отримаємо простий нормальний розподіл, диференціальну функцію (щільність) якого прийнято позначати

(2)

і значення якої , як уже відмічалось при вивченні локальної формули Лапласа , знаходяться за таблицею 1(див. Додаток).

Приймаємо без доведення одну важливу рівність

, (3)

ліва частина якої називається інтегралом Пуссона.

На основі (3) підтверджується основна властивість диференціальної функції розподілу .

тобто

Функція j(х) є парною (j(-х)=j(х)), невід¢ємною ( для всіх х Î(-¥,¥)), спадною при х ®+¥, а точніше при х ®±¥, j(х) ®0.

При х=0 j(х) досягає свого максимума

j(0) = »0,3989»0,40 , бо j¢(х)= і j¢(0)=0; при х<0 j¢(х)>0, j(x)- зростає, а при х>0 j¢(х)<0, j(x)-cпадає. Якщо знайти другу похідну

при х=±1.

У точках х=±1 графік функції має перегин, при цьому

j(-1)=j(1)»0,2419.

Випишемо ще деякі табличні дані j(±2)»0,05499, j(±3)»0,0044 і побудуємо графік функції j(х), див. рис. 1.

На тому ж рисунку 1 наведені для порівняння графіки функції (1) для випадку а=0, і

а також

для а=0, і . Таблиця 1 їх значень записана із використанням табличних значень функції j(х),оскільки

Таблиця 1

	0,7978	0,1198	0,00027
	0,1944	0,1760	0,1209	0,065

 

Рис.1

 

Криві загального нормального розподілу, які описуються функцією

 

при різних значенях s (і а=0 ) наведені на рис. 1. Вони відрізняються від кривої простого нормального розподілу тільки зміною масштабу вздовж осей . Із зменшенням s вершина кривої витягується вверх, стає голкоподібною. Із збільшенням s криві розподілу стають більш пологими. Крива розподілу для довільного а відрізняється ще і зсувом вздовж осі ОХ (див.рис.2), вона є симетричною відносно прямої х=а.

Рис.2.