Нормальний розподіл (розподіл Гаусса).Стр 1 из 2Следующая ⇒
Глава VII 7.1. Закони розподілу неперервних випадкових величин Закон рівномірного розподілу ймовірностей Означення.Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі , якому належать всі можливі значення випадкової величини , диференціальна функція має стале значення (рис.1). y
f(x)=C C
0 a b x Рис.1. Диференціальна функція рівномірного розподілу має вигляд: де С=сonst; Оскільки для щільності , то для проміжка (a,b) маємо + + = С(b-a)=1 . Отже, .
Числові характеристики рівномірного закону розподілу Математичне сподівання
1. Математичне сподівання : . (1) 2. Дисперсія : D(Х)=М(Х2) - (М(Х))2 ,
3. Середнє квадратичне відхилення:
Показниковий розподіл Показниковийабо експоненціальний розподіл – це розподіл, який описується функцією : де l>0 , стала додатна величина . Знайдемо інтегральну функцію показникового розподілу
Числові характеристики показникового закону розподілу 1. Математичне сподівання :
. 2. Дисперсія:
(2)
(3)
Із формул (1) і (3) бачимо, що для показникового закону розподілу математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення збігаються. Графіки диференціальної і інтегральної функції розподілу показникового закону подані на рисунках:
Нормальний розподіл (розподіл Гаусса). Нормальна крива
Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величина х , який описується на всій числовій осі диференціальною функцією (щільністю) (1) де а і параметри нормального розподілу , смисл яких розкриємо нижче. Зокрема, якщо а=0, а , то отримаємо простий нормальний розподіл, диференціальну функцію (щільність) якого прийнято позначати (2) і значення якої , як уже відмічалось при вивченні локальної формули Лапласа , знаходяться за таблицею 1(див. Додаток). Приймаємо без доведення одну важливу рівність , (3) ліва частина якої називається інтегралом Пуссона. На основі (3) підтверджується основна властивість диференціальної функції розподілу . тобто Функція j(х) є парною (j(-х)=j(х)), невід¢ємною ( для всіх х Î(-¥,¥)), спадною при х ®+¥, а точніше при х ®±¥, j(х) ®0. При х=0 j(х) досягає свого максимума j(0) = »0,3989»0,40 , бо j¢(х)= і j¢(0)=0; при х<0 j¢(х)>0, j(x)- зростає, а при х>0 j¢(х)<0, j(x)-cпадає. Якщо знайти другу похідну при х=±1. У точках х=±1 графік функції має перегин, при цьому j(-1)=j(1)»0,2419. Випишемо ще деякі табличні дані j(±2)»0,05499, j(±3)»0,0044 і побудуємо графік функції j(х), див. рис. 1. На тому ж рисунку 1 наведені для порівняння графіки функції (1) для випадку а=0, і а також для а=0, і . Таблиця 1 їх значень записана із використанням табличних значень функції j(х),оскільки Таблиця 1
Рис.1
Криві загального нормального розподілу, які описуються функцією
при різних значенях s (і а=0 ) наведені на рис. 1. Вони відрізняються від кривої простого нормального розподілу тільки зміною масштабу вздовж осей . Із зменшенням s вершина кривої витягується вверх, стає голкоподібною. Із збільшенням s криві розподілу стають більш пологими. Крива розподілу для довільного а відрізняється ще і зсувом вздовж осі ОХ (див.рис.2), вона є симетричною відносно прямої х=а. Рис.2. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|