 |
|
Ймовірність попадання у заданий інтервал нормальної випадкової величини
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення із даного інтервала 
Нам у загальному випадку вже відомо, що для заданої щільності 
Для нормального закону отримаємо
(1)
Нагадаємо, що значення функції 
знаходимо за таблицею 2 (див. Додаток), і при цьому 
Задача 1.Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 
і середнім квадратичним відхиленням 
. Знайти ймовірність того, що Х прийме значення із інтервалу (10 ; 50).
Роз’язання.Оскільки 
то отримуємо
Задача 2. Ріст дорослих чоловіків є випадковою величиною, розподіленою нормально. Статистичним шляхом установлено, що математичне сподівання росту серед юнаків призовного віку 179 см, середнє квадратичне відхилення 
см. У гвардію відбирають юнаків, у яких ріст у межах 180 – 185 см. Скільки у середньому можна відбирати юнаків у гвардію серед 1000 призовників ?
Розв’язання. Оскільки 
; 
; 
; 
то ймовірність того, що випадкова величина Х росту буде знаходитись у проміжку 
дорівнює
Це означає, що із 1000 юнаків у середньому 345 можуть бути відібраними у гвардію.
Задача3. Локомотив може вести поїзд, якщо його вага не перевищує 6600 тонн, у противному разі приходиться чіпляти другий локомотив. Поїзд складається з вагонів. Вага кожного вагона є випадковою величиною з математичним сподіванням 
т і середнім квадратичним відхиленням 
т. Знайти ймовірність того, що можна буде обійтись одним локомотивом, якщо: а) у поїзді – N = 100 вагонів; б) у поїзді – 99 вагонів; в) у поїзді – 98 вагонів.
Роз’язання. Математичне сподівання ваги поїзда 
(т). Дисперсія ваги поїзда 
Тоді шукана ймовірність того, що випадкова величина Х (вага поїзда) знаходиться в межах 
, дорівнює 
б) N = 99 вагонів. Математичне сподівання ваги поїзда 
(т); дисперсія 
в) N = 98, 
, 
,
Таким чином, якщо формувати поїзд із 100 вагонів, то одним локомотивом можна обійтися у 86 випадках із 100. Якщо поїзд складається із 99 вагонів, то одним локомотивом можна обійтись у 96 випадках із 100. Якщо поїзд складається із 98 вагонів, то одним локомотивом можна обійтись у 99 випадках із 100. У залежності від загальної вартості перевезень із врахуванням кількості вантажу можна буде вибирати той чи інший варіант комплектації вагонів.
7.3. Правило трьох 
(сігм)
Знайдемо ймовірність нерівності 
, де а – відоме математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х. Шукана ймовірність збігається з ймовірністю еквівалентної нерівності 
. За формулою (1) із 7.2 маємо
Отже, 
. (1)
Покладемо 
, тоді
(2)
Нехай t = 1, тобто 
, тоді
При t = 2 
,
При t = 3 
,
Останнє співвідношення означає, що ймовірість того, що відхилення за абсолютною величиною значення випадкової величини Х від її математичного сподівання а буде менше потроєного середньоквадратичного відхилення, дорівнює 0,9973, тобто, що із 10 000 випадків тільки у 27 випадках відхилення перевищить 
. Із практики відомо, що така подія малоймовірна і тому вона вважається практично неможливою. Таким чином, якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то її відхилення від математичного сподівання практично не перевищує трьох сігм (рис.5)
у
х
0 
Рис.5