Примеры решения задач

Задача 3.1.

Воздушный шар весом Р опускается с ускорением а. Какой груз Q (балласт) надо сбросить, чтобы шар стал подниматься с таким же ускорением.

Рис. 3.8. К задаче 3.1.

Решение.

На падающий шар действуют сила тяжести и подъемная сила (рис.3.8). Составляя уравнение второй закон Ньютона в проекции на вертикаль, найдем, что

Когда будет сброшен балласт (рис. 3.8, б), вес шара станет равен , а подъемная сила останется той же. Тогда, учитывая что шар при этом движется вверх, получим

Исключая из этих уравнений неизвестную силу F, найдем

Задача 3.2.

Лифт весом Р (рис. 3.9) начинает подниматься с ускорением а. Определить натяжение троса.

Рис. 3.9. К задаче 3.2.

Решение.

На лифт действуют сила тяжести и реакция троса . Составляя второй закон Ньютона в проекции на вертикаль, получим , откуда

Если лифт опускается с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно

Задача 3.3.

Радиус закругления в точке А моста равен R (рис. 3.10). Найти, какое давление на мост в точке А окажет автомобиль массы m, движущийся со скоростью

Решение.

Рис. 3.10. К задаче 3.3.

В точке А автомобиль имеет нормальное ускорение . При этом на него действуют сила тяжести и реакция . Тогда по второму закону Ньютона, составленному в проекции на нормаль , откуда .

Сила давления на мост равна по модулю N, но направлена вниз.

Задача 3.4.

Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВ каналу от его начала А до конца В (рис. 3.11). При подсчете считать радиус Земли R=6370 км.

Рис. 3.11. К задаче 3.4.

Решение.

В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее центру с силой F, прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Принимая во внимание, что при r=R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна силе тяжести ( ), получим, что внутри Земли

где — расстояние от точки М до центра Земли.

Поместим начало отсчета О в середине хорды АВ (в этой точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Ох вдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через 2а, то начальные

условия задачи будут: при t=0 x=a, _x=0.

В произвольном положении на тело действуют силы и . Следовательно,

так как из чертежа видно, что , N_x=0.

Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М.Необходимо решить дифференциальное уравнение. Сокращая на и вводя обозначение

получим

Умножая обе части этого равенства на , сразу разделяем переменные и, интегрируя, находим

По начальным условиям при . Следовательно, . Подставляя это значение С₁, получаем

Считая, что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. что <0, берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке плюс). Тогда, заменяя на , найдем, что

Разделяя переменные, приведем это уравнение к виду

и, интегрируя, получим

Подставляя сюда начальные данные (при ), находим, что С₂=0. Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид

Следовательно, тело будет совершать в канале АВ гармонические колебания с амплитудой а.

Найдем теперь время t₁ движения тела до конца В канала. В точке В координата . Подставляя это значение в уравнение движения, получим , откуда и . Но по введенному обозначению . Отсюда, произведя подсчет, находим, что время движения по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины и всегда равно

Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала.

Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальная скорость тела. Из выражения для видно, что при х=0, т. е, в точке О.

Следовательно,

Если, например, 2а=0,1, R=637 км (приблизительно расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга), то .

Задача 3.5.

Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 3.12), прогибает ее на величину λ_ст (статистический прогиб балки) Пренебрегая весом балки, определить, чему будет равен ее максимальный прогиб λ_m, если груз упадет на балку с высоты Н.

Рис. 3.12. К задаче 3.5.

Решение.

Воспользуемся для решения уравнением теоремой об изменении кинетической энергии. В данном случае начальная скорость груза и конечная его скорость (в момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение работа всех внешних сил равна нулю

Работу здесь совершают сила тяжести на перемещении М₀М₁ и сила упругости балки на перемещении M'M₁. При этом , , так как для балки , . Поэтому

Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упругости, следовательно, и предыдущее равенство можно представить в виде

Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи должно быть >0, находим

Интересно отметить, что при Н=0 получается . Следовательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб при опускании груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем груз качнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновесится

в положении, при котором прогиб балки равен .

Задача 3.6.

Груз весом Р, подвешенный на нити длиной , отклоняют от вертикали на угол α в положение М₀ и отпускают без начальной скорости. Определить натяжение нити в момент, когда груз дойдет до наинизшего положения М₁.

Решение.

Рис. 3.13. К задаче 3.6.

Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении М₁ (рис. 3.13). На груз действуют сила тяжести и сила реакции нити . Проводим нормаль М₁_n в сторону вогнутости траектории и составляем второй закон Ньютона, учитывая, что в нашем случае радиус равен l. Получим

или ,

Где — скорость груза в положении М₁. Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии

Работу на участке М₀М₁ совершает только сила . Поэтому .

Так как , то, подставляя найденное значение работы в теорему об изменении кинетической энергии, получим и окончательно найдем

В частном случае, если угол начального отклонения α=90°, натяжение нити при прохождении через вертикаль будет равно , т. е. утроенному весу груза.

Полученное решение показывает, что динамические реакции действительно могут значительно отличаться от статических.

Задача 3.7 (рис.3.14).

Тело движется из точки А по участку АВ длиной L=10 м наклонной плоскости, составляющей угол =30⁰ с горизонтом в течение секунд. Начальная скорость равна нулю. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен =0,2.

В точке В тело покидает плоскость и попадает в точку С плоскости ВС, наклоненной под углом =60⁰ к горизонту.

При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать, Принять

Определить и h.

Рис. 3.14. К задаче 3.7.

Решение.

Часть 1

На участке АВ действуют: сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения.

Составим второй закон Ньютона в векторном виде

В проекциях на оси координат

Так как сила трения , поэтому

м/с.

Применяя формулы кинематики

м/с с

Часть 2

На участке BC на тело действует только сила тяжести, поэтому оно имеет ускорение g и направлено вертикально вниз. Движение по горизонтали равномерное, по вертикали – равноускоренное. Поэтому

Из рис. 3.14. видно, что

Решив полученную систему уравнений

с.

Ответ с; м.

Задача 3.8.

Механическая система состоит из (рис.3.8):

· Груза 1 массой m₁=8 кг

· Невесомого ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней R₂=0,3 м, r₂=0,1 м.

· Блока 3 радиусом R₃=0,2 м и массой m₃=4 кг, масса блока равномерно распределена по ободу.

· Подвижного блока 4 массой 18 кг, который представляет собой сплошной однородный цилиндр

· Пружины жесткости k=3200 Н/м

Тела системы соединены друг с другом нитями. Коэффициент трения грузов о плоскость =0,1. Под действием силы F=50(8+3s), зависящей от перемещения s первого груза, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М=12 Нм сил сопротивления (от трения в подшипниках). Найти скорость первого груза в тот момент времени, когда его перемещение s=0,2 м.

Решение

Рис. 3.15. К задаче 3.8.

Вычислим кинетическую энергию заданной системы грузов как функцию скорости первого тела.

Груз 1 движется поступательно, поэтому его кинетическая энергия

Кинетическая энергия ступенчатого шкива 2 равна нулю, так как он невесом. Угловая скорость шкива .

Скорость точки А .

Кинетическая энергия блока 3 - , где - его момент инерции, который в данном случае равен . Угловая скорость блока 3 . В итоге кинетическая энергия

Центр подвижного блока 4 движется со скоростью . Угловая скорость его вращения , где - его момент инерции, который для сплошного цилиндра равен . Кинетическая энергия состоит из двух слагаемых – поступательного и вращательного движений. В итоге