Главная | Обратная связь

ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

Будь-яке лінійне рівняння зі змінними x, y, z можна розглядати як рівняння у декартових координатах площини у просторі. Різні форми рівняння площини наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

 

Назва	Загальний вигляд	Геометричний зміст параметрів
канонічне (рівняння площини, яка проходить через задану точку)		А, В, С-координати вектора нормалі до площини; - координати точки, яка належить площині
загальне		А, В, С-координати вектора нормалі до площини
у відрізках на осях		- координати точок перетину площини з осями та відповідно
нормальне		- кути, які створює нормаль проведена з початку координат з осями та

 

Продовження табл. 1

рівняння площини, яка проходить через три точки

, та - координати трьох точок, які належать площині

Якщо у рівнянні відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна відповідній координатній осі; наприклад, площина, яку задано рівнянням , паралельна осі .

Якщо у рівнянні відсутні доданки з двома змінними, то площина паралельна відповідній координатній площині; наприклад, площина, яку задано рівнянням , паралельна площині .

Якщо у загальному або у нормальному рівнянні площини відсутній вільний член, тобто рівняння має вигляд , площина проходить через початок координат.

Наведемо рівняння координатних площин :

– ; – ; – .

Кут між площинами та дорівнює гострому куту між їх нормалями та , тобто

.

Умовою паралельності двох площин є колінеарність їх нормалей :

, тобто .

Умовою перпендикулярності двох площин є перпендикулярність їх нормалей :

,тобто .

Відстань від точки М до площини, заданої за допомогою рівняння , обчислюється за формулою

.

Пряму у просторі ми будемо розглядати як лінію перерізу двох площин; лінію, будь-які точки якої задають вектор, колінеарний заданому, або траєкторію руху зі сталою швидкістю заданої точки. Різні форми рівнянь прямої наведені у таблиці 2.

 

Таблиця 2

Назва	Загальний вигляд рівнянь, рисунок	Геометричний зміст параметрів
загальні		Пряма розглядається як лінія перерізу двох площин з нормалями та
канонічні		- координати напрямного вектора прямої; - координати точки, яка належить прямій

Продовження табл.2

параметричні		- координати напрямного вектора прямої; - координати точки, яка належить прямій.
рівняння прямої, яка проходить через дві точки		та - координати двох точок, які належать прямій

 

Рівняння прямої, перпендикулярної до осі , мають вигляд

Рівняння прямої, перпендикулярної до осі , мають вигляд

Рівняння прямої, перпендикулярної до осі , мають вигляд

Кут між двома прямими – це гострий кут, який створено напрямними векторами цих прямих

.

Умовою паралельності двох прямих є колінеарність їх напрямних векторів :

, тобто .

Умовою перпендикулярності двох прямих є перпендикулярність їх напрямних векторів :

,тобто .

Гострий кут j, який створений нормаллю до площини, заданої рівнянням , та напрямним вектором прямої, доповнює кут q між прямою та площиною до :

.

 

Умовою перпендикулярності прямої та площини є колінеарність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :

, тобто .

 

Умовою паралельності прямої та площини є перпендикулярність нормалі до площини та напрямного вектора прямої :

,тобто .

Програма дисципліни “ВИЩА МАТЕМАТИКА”

(2 семестр)