Звичайні диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння першого порядку.
Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , шукану функцію та її похідні (або диференціали): , або
. Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної (диференціала) цього рівняння. Розв’язком диференціального рівняння називається функція , яка при підстановці у це рівняння перетворює його на тотожність. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
, (5.1) де незалежна змінна, шукана функція, похідна шуканої функції. Якщо рівняння можна розв’язати відносно похідної, то його записують у вигляді
. Розв’язком диференціального рівняння (5.1) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (5.1) перетворює його на тотожність на . Функція , де довільна стала, називається загальним розв’язком рівняння (5.1) в області , якщо вона задовольняє дві умови: 1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини; 2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову: . Частинним розв’язком рівняння (5.1) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні . Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння (5.1). Види диференціальних рівнянь першого порядку: 1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. 2. Однорідні диференціальні рівняння. 3. Лінійні диференціальні рівняння. 4. Диференціальні рівняння Бернуллі. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними мають вигляд: , (5.2) де і задані і неперервні на деякому інтервалі функції. Вважаючи, що , дістанемо або , . (5.3) Рівняння (5.3) називається рівнянням з відокремленими змінними. Інтегруючи обидві частини останнього рівняння отримаємо загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремлюваними змінними: . Диференціальне рівняння (5.2) є окремим випадком рівняння виду:
(5.4) Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на добуток , . Функція називається однорідною функцією го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується тотожність:
. Диференціальне рівняння (5.5) називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру, тобто, . Підстановкою , де невідома функція, рівняння (5.5) зводиться до рівняння з відокремленими змінними:
. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду , (5.6) де та задані і неперервні на деякому проміжку функції. Розв’язок рівняння (5.6) знаходимо у вигляді , (5.7) де та невідомі функції, причому одна з них функція довільна (але не дорівнює тотожно нулю). Після підстановки (5.7) в рівняння (5.6) рівняння (5.6) перетворюється на систему 2-х рівнянь з відокремлюваними змінними.
Рівняння Бернуллі має вигляд , (5.8) де . При рівняння (5.8) буде лінійним, при рівнянням з відокремлюваними змінними. Метод розв’язання рівняння Бернуллі такий саме як і для лінійного рівняння, тобто розв’язок його знаходимо у вигляді .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|