Главная | Обратная связь

Випадкові події. Класичне означення ймовірності

Предмет та основні поняття теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей – це математична дисципліна, яка вивчає закономірності масових випадкових явищ.

Знання закономірностей, яким підпорядковуються масові випадкові події, дає змогу передбачати, як ці події будуть відбуватися в майбутньому.

Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства та техніки: в теорії надійності, теорії масового обслуго­вування, в теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрільб, теорії помилок спостережень, теорії автоматизованого управління, загальній теорії зв’язку та у багатьох інших теоретичних та прикладних науках. Теорія ймовірностей служить також для обгрунтування математичної та прикладної статистики, яка, в свою чергу, використовується у плануванні та організації виробництва, при аналізі технологічних процесів, контролі якості продукції та для багатьох інших цілей.

Останнім часом методи теорії ймовірностей все ширше проникають в різні області науки та техники, сприяючи їх прогрессу.

Вихідними поняттями теорії ймовірностей є поняття випробування, події та її ймовірності, а також випадкової величини.

Випробуванням (дослідом або експериментом) називається здійснення певної сукупності умов, які можна відновити довільну кількість разів хоча б теоретично. Подією або явищем називається результат випробування або його наслідок. Наприклад, підкидання монети є випробуванням, а випадання герба – подією.

Поряд з подією теорія ймовірностей оперує з більш загальним поняттям випадкової вели­чини, яка є кількісною характеристикою випадкових явищ.

 

Випадкові події. Класичне означення ймовірності

Всі події, які відбуваються у природі можна поділити на достовірні, неможливі та випадкові.

Достовірною називають подію, яка обов’язково відбудеться при певних умовах.

Неможливою називають подію, яка при певних умовах ніколи не відбудеться.

Випадковою називають подію, яка при певних умовах може як відбутися так і не відбутися.

Події називаються несумісними, якщо поява однієї із них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Події називаються рівноможливими, якщо немає підстав вважати, що поява однієї із них є більш можливою, ніж поява інших. Наприклад, поява ”герба” та ”напису” при підкиданні монети є рівноможливими подіями, якщо вважати, що монета виготовлена із однорідного металу, має правильну циліндричну форму і наявність чеканки не впливає на випадання тієї чи іншої сторони монети.

Нехай у результаті одного випробування наступає одна і тільки одна із подій ( ). Події при цьому називають елементарними подіями. Очевидно, що елементарні події попарно несумісні. Множину всіх елемен­тарних подій, які можуть з’явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій .

Наприклад, поява тієї чи іншої цифри при підкиданні грального кубика є елементарною подією. Очевидно, що таких елементарних подій буде 6 і якщо їх позначити через , то простором елементарних подій буде множина .

Якщо припустити, що гральний кубик виготовлений із однорідного матеріалу, має форму куба і наявність цифри на його грані не впливає на випадання цієї грані, то елементарні події будуть рівноможливі.

Подію будемо ототожнювати із певною підмножиною елементарних подій простору , що сприяють її появі.

Наприклад, появі парної цифри на гральному кубику відповідає одна з елементарних подій , і , тому .

Означення. Ймовірністю події називають відношення кількості елементарних подій , що сприяють появі події до загальної кількості елементарних подій , тобто

. (1)

У цьому означенні, яке ще називають класичним означенням ймовірності, припускається що простір елементарних подій складається із рівноможливих подій .

Властивості ймовірності.

1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

3. Ймовірність випадкової події є додатне число, що знаходиться між нулем та одиницею, тобто .

Перед тим, як перейти до обчислення ймовірностей, розглянемо деякі елементи комбінаторики.

Перестановками називають комбінації, що складаються із одних і тих же різних елементів і відрізняються тільки порядком їх розміщення. Число всіх можливих перестановок із елементів

(2)

Розміщеннями називають комбінації, що складаються із різних елемен­тів по елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень без повторень елементів

. (3)

Якщо елементи у розміщеннях повторюються, то число таких розміщень

. (4)

Сполуками називають комбінації, що складаються із різних елементів по , які відрізняються хоча б одним елементом. Число сполук із елементів по

. (5)

Із співвідношення (5) випливає, що число розміщень, перестановок і сполук пов’язані рівністю

. (6)

При розв’язуванні задач комбінаторики використовують такі правила.

Правило суми. Якщо деякий об’єкт може бути вибраний із сукупності об’єктів способами, а інший об’єкт – способами, то вибрати об’єкт чи можна способами.

Правило добутку. Якщо об’єкт можна вибрати із сукупності об’єктів способами і після кожного такого вибору об’єкт можна вибрати способами, то пару об’єктів і можна вибрати способами.