Здавалка
Главная | Обратная связь

Теореми додавання і множення ймовірностей



Сумою двох подій і називають подію, яка полягає у появі події , або події , або обох цих подій.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

. (8)

Декілька подій утворюють повну групу, якщо у результаті випробування обов’язково з’явиться хоча б одна із них.

Теорема 2. Сума ймовірностей подій , , ..., , які утворюють повну групу дорівнює одиниці

. (9)

Протилежними називають дві можливі події, які утворюють повну групу. Якщо одну із цих подій позначити через , то іншу позначають через .

Теорема 3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці

. (10)

Із теореми випливає, що ймовірність протилежної події .

Добутком двох подій і називають подію , яка полягає у сумісній появі обох цих подій.

Умовною ймовірністю називають ймовірність події , вираху­вану при умові, що подія вже наступила і обчислюють її за формулою:

( ). (11)

Теорема 4. Ймовірність сумісної появи двох подій і дорівнює добутку ймовірності однієї із них на умовну ймовірність іншої, вирахуваної у припущенні, що перша подія вже наступила:

. (12)

Події і називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї із них не залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія.

Якщо дві події і не залежні, то

. (13)

Ймовірність появи хоча б однієї із подій , , ..., , які є незалежними у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій , , ..., :

. (14)

Теорема 5. Ймовірність появи хоча б одної із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

. (15)

Приклад 1. Є два ящики із кулями. У першому – 3 червоних та 3 білих кулі; в другому 5 білих та 7 червоних. Яка ймовірність дістати з обох ящиків по білій кулі?

Розв’язання. Розглянемо події

{із першого ящика дістали білу кулю},

{із другого ящика дістали білу кулю}.

За умовою задачі потрібно знайти ймовірність сумісної події . Оскільки події і незалежні (ймовірність витягти білу кулю із першого ящика не залежить від того, яку кулю білу чи червону витягнуть із другого ящика), то за теоремою множення ймовірностей

.

Знайдемо ймовірності і . У першому ящику 6 куль із них 3 білі, тому або . У другому ящику 12 куль, із них 5 білих, тому . Тоді .

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.