Теореми додавання і множення ймовірностей ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Сумою двох подій і називають подію, яка полягає у появі події , або події , або обох цих подій. Теорема 1. Ймовірність появи однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто . (8) Декілька подій утворюють повну групу, якщо у результаті випробування обов’язково з’явиться хоча б одна із них. Теорема 2. Сума ймовірностей подій , , ..., , які утворюють повну групу дорівнює одиниці . (9) Протилежними називають дві можливі події, які утворюють повну групу. Якщо одну із цих подій позначити через , то іншу позначають через . Теорема 3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці . (10) Із теореми випливає, що ймовірність протилежної події . Добутком двох подій і називають подію , яка полягає у сумісній появі обох цих подій. Умовною ймовірністю називають ймовірність події , вирахувану при умові, що подія вже наступила і обчислюють її за формулою: ( ). (11) Теорема 4. Ймовірність сумісної появи двох подій і дорівнює добутку ймовірності однієї із них на умовну ймовірність іншої, вирахуваної у припущенні, що перша подія вже наступила: . (12) Події і називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї із них не залежить від того, відбулася чи не відбулася інша подія. Якщо дві події і не залежні, то . (13) Ймовірність появи хоча б однієї із подій , , ..., , які є незалежними у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій , , ..., : . (14) Теорема 5. Ймовірність появи хоча б одної із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи: . (15) Приклад 1. Є два ящики із кулями. У першому – 3 червоних та 3 білих кулі; в другому 5 білих та 7 червоних. Яка ймовірність дістати з обох ящиків по білій кулі? Розв’язання. Розглянемо події {із першого ящика дістали білу кулю}, {із другого ящика дістали білу кулю}. За умовою задачі потрібно знайти ймовірність сумісної події . Оскільки події і незалежні (ймовірність витягти білу кулю із першого ящика не залежить від того, яку кулю білу чи червону витягнуть із другого ящика), то за теоремою множення ймовірностей . Знайдемо ймовірності і . У першому ящику 6 куль із них 3 білі, тому або . У другому ящику 12 куль, із них 5 білих, тому . Тоді .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|