Класифікація подій та дії над ними.

Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Варто відзначити, що математичний підхід до вивчення випадкових явищ намагалися знайти ще в стародавньому Китаї, Римі, Греції. В середні віки намагалися застосувати точні методи в задачах, пов’язаних з азартними іграми. Проте початки теорії ймовірностей як математичної науки були закладені в XVII ст. в працях Б.Паскаля, П.Ферма, Х.Гюйгенса, Я. Бернуллі. Пізніше, у XVIII-XIXст. розвиток теорії ймовірностей був викликаний задачами теорії стрільби, теорії похибок, проблемами демографії, тощо. Значного розвитку теорія ймовірностей досягла в XIX-XX ст .завдяки працям А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона, П.Чебишова, А.Маркова, А.Колмогорова та інших вчених.

В наш час методи теорії ймовірностей широко застосовуються в теорії надійності, теорії масового обслуговування, теорії інформації, статистичній фізиці, математичній статистиці та інших галузях знань.

Основними поняттями теорії ймовірностей є поняття:

- стохастичного експерименту,

- випадкової події,

- ймовірності випадкової події.

Стохастичним називається експеримент, результат якого не можна передбачити наперед.

Стохастичнимуексперименту ставиться у відповідність деяка множина , точки (елементи) якої відображають найбільш повну інформацію про можливі результати цього експерименту.

Множина називається простором елементарних подій, а її точки (елементи) - елементарними подіями. Множина може бути дискретною (скінченною або зчисленною) або неперервною.

Приклад 1.Проводиться стохастичнийексперимент – монету підкидають один раз.

Очевидно, результатом цього експерименту будуть дві елементарні події: поява герба “Г”, або поява цифри “Ц”. Отже, тут простір елементарних подій ={Г, Ц}.

Приклад 2.Проводиться стохастичнийексперимент – монету підкидають два рази.

Очевидно, що ={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.

Приклад 3.Проводиться стохастичнийексперимент – гральний кубик підкидають один раз. Результатом цього експерименту є простір елементарних подій ={ },

де - елементарна подія: “кількість очок на верхній грані кубика”.

У наведених прикладах простір є скінченною множиною. Проте в багатьох задачах доводиться мати справу з експериментами, які мають нескінченну кількість можливих наслідків.

Проводячи експеримент, нас буде цікавити не те , який конкретно наслідок матиме місце в результаті спроби, а лише те, чи буде належати цей наслідок тій чи іншій множині всіх наслідків, можливих в результаті проведення даного експерименту.

Класифікація подій та дії над ними.

Підмножини , для яких за умовами експерименту можлива відповідь одного з двох типів: “наслідок “ або “наслідок ” називаються випадковими подіями.

Зокрема, в прикладі 2 подія А : “герб з’явиться принаймні один раз”. Підмножина

А={ГГ, ГЦ, ЦГ} містить три елементи з множини , тобто подія А складається з трьох елементарних подій.

В прикладі 3 подія А: “при підкиданні кубика випаде парне число очок” – А={ }.

Як бачимо, випадкова подія є підмножиною А простору елементарних подій .

Множина , яка трактується як подія, характерна тим, що в результаті експерименту вона обов’язково відбувається при виконанні певної сукупності умов, називається вірогідною подією.

Підмножиною довільної множини вважається порожня множина Ø, яка не містить жодної точки з , тобто така подія в експерименті не відбувається , вона називається неможливою подією і позначається Ø.

Подія (читається “не А”) називається протилежною події А. Якщо в прикладі 1 подія А – поява герба, то подія - поява цифри.

Нехай А і В – випадкові події. Якщо А В (тобто кожний елемент А міститься в В), то це означає, що подія А тягне за собою подію В. Іншими словами, якщо подія А відбувається, то подія В теж відбувається, тобто подія В є наслідком події А. Якщо А В і В А, то події А і В називаються рівносильними (еквівалентними): А=В.

Об’єднанням (сумою) двох подій А і В називається подія А В (або А+В), яка полягає в тому, що відбулася принаймні одна з подій А або В.

Перетином (суміщенням або добутком) двох подій називається подія А (або А·В), яка полягає в тому, що відбулася і подія А і подія В.

Різницею А\В називається подія, яка полягає в тому, що відбулася подія А, а В не відбулася.

Доповнення множини А позначається = \А, де - подія, протилежна події А.

Операції над подіями зручно ілюструвати з допомогою діаграм Ейлера-В’єнна.

Події А і В називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто

А В Ø.

Наприклад, нехай подія А: “поява туза при вийманні карти з однієї колоди”, подія В: “поява туза при вийманні карти з іншої колоди”. Ці події сумісні.

Події А і В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто

А В= Ø.

Наприклад, нехай подія А: “неробочий хід генератора”, подія В: “коротке замикання генератора”. Ці події несумісні.

Події називаються попарно несумісними, якщо Ø ( ).

Повною групою несумісних подій називається сукупність (скінченна або нескінченна) попарно несумісних подій, причому в результаті експерименту з’явиться тільки одна з цих подій, тобто

= Ø ( ), .