Главная | Обратная связь

Імовірність гіпотез. Формула Бейеса

Події – називають гіпотезами, так як невідомо, яка із них здійсниться. По формулі повної імовірності

.

Нехай проведено випробування, після якого здійсниться подія A. Як зміниться після цього імовірність гіпотез?

Знайдемо спочатку умовну імовірність .

.

Звідки

або

.

Це і є формула Бейеса (англійський математик. Опублікував в 1767 році).Формула Бейеса дозволяє переоцінити імовірності гіпотез після того, як став відомим результат випробування, яке привело до появи події A.

Приклад. Деталі, які виготовляє цех заводу, попадають для перевірки їх на стандартність до одного із двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера , . Імовірність того, що деталь буде признана стандартною першим контролером , .

Деталь при перевірці була признана стандартною. Знайти імовірність того, що її перевірив перший контролер.

A – подія, деталь признана стандартною, – гіпотеза, що її перевірив перший контролер, – другий контролер.

.

Як видно, для випробування імовірність гіпотези =0,6, а після того, як став відомий результат випробування, імовірність цієї гіпотези змінилась і стала рівною 0,59. Імовірність цієї гіпотези перецінилась.

Лекція 3

Повторення випробувань

Формула Бернуллі

Подія А може повторюватись з однаковою ймовірністю р багато разів. Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з’явитись, а може не з’явитись.

Р(А)=р в кожному випробуванні q=1–p.

Поставимо задачу обчислити ймовірність того, що при n випробуваннях подія А здійсниться рівно k разів і не здійснити (n–k) разів. Не обов’язково k разів підряд. P_n(k) – ?

p^kq^n–k – ймовірність того, що подія А настане k разів.

Таких подій може бути . Ці події несумісні. А тому використати теорему про суму ймовірностей.

P_n(k)= p^kq^n–k або P_n(k)= p^kq^n–k

Це формула Бернуллі.

Приклад: Ймовірність того, що витрати електроенергії впродовж однієї доби не перевищать встановленої норми, рівна р=0,75. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрати електроенергії впродовж 4 діб не перевищать норми.

p=0,75, q=0,25

P₆(4)= p⁴q²= 0,75⁴ 0,25²=0,3