Нерівність Чебишева
Доведення Так як Відкинемо звідси ті доданки, для яких Будемо вважати, що це перші К доданків. Тоді Так як або Тому ця сума є ймовірність того, що Х прийме одне із значень хк+1,…,хn, але для них . Звідки витікає, що сума є ймовірність Тоді , або І, на кінець, Доведено. Нерівність Чебишева ( А.А.Боровков Теория вероятностей стр.94) 1-ша форма нерівності: Нехай ξ ≥ 0 з ймовірністю 1. Тоді для будь-якого ε >0 Р(ξ ≥ ε) ≤ (1) 2-га форма нерівності: Для будь-якої випадкової величини ξ, яка має скінченну дисперсію, при кожному ε >0 має місце нерівність (2) Теорема Чебишева Якщо ξ1, ξ2,…, ξn,… - послідовність попарно незалежних випадкових величин, які мають скінченні дисперсії, обмежені однією і тією ж сталою , то яке б не було постійне число ε >0 (3) Доведення В умовах теореми , так що Згідно нерівності Чебишева Переходячи до границі при , одержимо Теорема доведена.
Наслідки теореми Чебишева Теорема Бернуллі Нехай - число появ події А в n незалежних випробуваннях і р є ймовірність появи події А в кожному із випробувань. Тоді, яке б не було (4) Доведення Дійсно, нехай - число появ події А в k-му випробуванні. Тоді Але То теорема Бернуллі є найпростішим частинним випадком теореми Чебишева
Теорема Пуассона Якщо в послідовності незалежних випробувань ймовірність появи події А в k-му випробуванні дорівнює рк, то , де - число появ події А в перших n випробуваннях. Доведення Вводячи в розгляд випадкові величини , рівні числу появ події А в k-му випробуванні, і замітивши, що , , ми переконуємось, що теорема Пуассона є частинним випадком теореми Чебишева. 3. Якщо послідовність попарно-незалежних випадкових величин так, що ,
то, яке б не було постійне Цей наслідок використовується для середнього арифметичного. Нехай, наприклад, проводиться вимірювання n раз в однакових умовах деякої фізичної величини а. Нехай х1,х2,…,хn – результати вимірювань. Тоді Якщо вимірювання проводиться без систематичної похибки, тобто , то згідно закону великих чисел при з ймовірністю, як завгодно близькою до 1, ми можемо одержати значення, як завгодно близьке до а.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|