Главная | Обратная связь

Щільність розподілу системи двох випадкових величин

Розглянемо на площині XOY прямокутник R_Δ з сторонами Δx I Δy, який дотикається до точки з координатами (x,y)

 

 

 

 

Ймовірність попадання в цей прямокутник за формулою (3) є:

Q((x,y) R_Δ)=F(x+Δx,y+Δy)–F(x+Δx,y)–F(x,y+Δy)+F(x,y) =

=

= = (4)

Таким чином,

(5)

при умові, що всі границі існують.

Функція f(x,y) називається щільністю розподілу системи випадкових величин X та Y.

Таким чином, щільність розподілу системи представляє собою границю відношень ймовірності попадання в малий прямокутник до площі цього прямокутника, коли обидва його розміри прямують до нуля. Вираз f(x,y)dxdy називається елементом ймовірності.

Елемент ймовірності є ймовірність попадання в елементарний прямокутник зі сторонами dx, dy, який доторкується точки (x,y) (див. мал. з R_Δ ).

Ця ймовірність дорівнює об’єму елементарного паралелепіпеда, обмеженого f(x,y) з основою dxdy. Звідси

(6)

Геометрично ймовірність попадання в область D зображується об’ємом циліндричного тіла, обмеженого зверху поверхнею розпорядку f(x,y), а знизу областю D.

Із останньої формули ймовірність попадання в прямокутник R:

(7)

З іншого боку:

(8)

Дійсно функція розподілу F(x,y) є ймовірність попадання в нескінченний квадрат, який можна розглядати як прямокутник обмежений абсцисами -∞ і x, ординатами -∞ і y.

Властивості щільності розподілу f(x,y):

1. f(x,y)≥0, так це є границя відношення двох невід’ємних величин.

2. (9),

так як цей інтеграл є ймовірність попадання у всю площину XOY.

Геометрично це означає, що повний об’єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу і площиною ХОУ, дорівнює 1.

Приклад 1.

Система двох випадкових величин (Х,У) підпорядкована закону розподілу з щільністю

Знайти функцію розподілу F(x,y). Обчислити ймовірність попадання випадкової точки (х,у) в квадрат R

 

Приклад 2.

Поверхня розподілу системи (х,у) є прямий круговий конус з основою – круг радіуса R з центром в (0,0).

Знайти f(х,у) – ? Обчислити ймовірність того, що випадкова точка (х,у) попаде в круг К радіуса а, де а .

	h

 

 

, де h – висота конуса

Висоту h визначаємо так, щоб об’єкт конуса був рівний 1:

Полярна система координат

Матриця Якобі І=

Лекція 2