Главная | Обратная связь

Закон розподілу окремих величин, які входять в систему. Умовні закони розподілу

Раніше було показано, що (1)

Знайдемо теперщільністьокремих випадкових величин Х і У через щільність розподілу системи

(2)

Звідки, диференціюючи по х, одержимо вираз для щільності розподілу величини Х:

(3)

За аналогією

Таким чином, для того щоб одержати щільність розподілу однієї з величин, які входять в систему, необхідно щільність розподілу системи проінтегрувати в нескінченних межах по аргументу, який відповідає другій випадковій величині.

З останніх формул видно, як з f(x,y) отримали f₁(x) та f₂(y). А чи можна з f₁(x) та f₂(y) визначити f(x,у)? – Не завжди.

Потрібно ще знати залежності між величинами, які входять в систему. Ця залежність може бути охарактеризована за допомогою умовних законів розподілу(F(x/y) або f(x/y)). Будемо розглядати тільки неперервні випадкові величини, тому достатньо розглянути функцію f(x/y).

Приклад. Система випадкових величин L та G представляє собою довжину або вагу осколка снаряда. Нехай нас цікавить довжина осколка снаряда L безвідносно до його ваги; це є випадкова величина з щільністю розподілу f₁ (l) – це безумовний закон розподілу. Але нас може зацікавити і закон розподілу довжини осколка визначеної ваги, наприклад 10г. Отримаємо умовний закон розподілу довжини осколка при вазі 10г. з щільністю f(l/g) при g=10.

Знаючи закон розподілу однієї із величин, які входять в систему, і умовний закон розподілу другої, можна скласти закон розподілу системи (аналогія P(AB)=P(A)*P_A(B)= P(B)*P_B(A). Знайдемо f(x,y).

y+dy

f(x,y)dxdy = P((x,y) Rd )=P(x<X<x+dx)(y<Y<y+dy)

 

Ймовірність цих двох подій за теоремою добутку ймовірносте дорівнює ймовірності попадання в полосу І, помножену на умовну ймовірність попадання в полосу ІІ, обчислену при умові, що перша подія мала місце. Ця умова при , .

,

(4)

звідси

Щільність розподілу системи двох величин дорівнює щільності розподілу однієї з величин, які входять в систему, помножену на умовну щільність розподілу другої величини, обчисленої при умові, що перша величина прийняла задане значення.

(5)

Формулу (4) часто називають теоремою добутку законів розподілу. За аналогією

(6)

(7)

(8)

Або

(9)