Главная | Обратная связь

Математичне сподівання, дисперсія функції

Часто на практиці немає необхідності знайти закон розподілу функції випадкової величини, а достатньо знайти деякі числові характеристики цієї функції.

Розглянемо тому задачу: випадкова величина Y є функція декількох випадкових величин Y = φ (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n)

Відомий закон розподілу системи аргументів (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n);необхідно знайти числові характеристики величини Y, в першу чергу – математичне сподівання та дисперсію.

Нехай ми знайшли закон розподілу g(γ) величини Y. Тоді

і т.д.

Проте закон g(γ) дуже важко знайти. Та для числових характеристик величини Y він не завжди потрібен, більше того, не завжди потрібен закон розподілу (Χ₁,Χ₂,…,Χ_n), достатньо знайти лише числові характеристики цієї системи. Розглянемо деякі випадки.

1. Задана випадкова величина Χ зі своїм законом розподілу і Y=φ(Χ)

Потрібно знайти m_y, не знаючи g(γ).

m_y=M(φ(χ)) (1)

Нехай Х – дискретна випадкова величина

Χі	Χ1	Χ2	….	Χn
Pі	Р1	Р2	….	Рn

 

φ(Χі)	φ(Χ1)	φ(Χ2)	….	Φ(Χn)
Pі	Р1	Р2	….	Рn

(2)

(3)

Таким чином, для визначення математичного сподівання функції зовсім не вимагається знати закон розподілу цієї функції, а достатньо знайти закон розподілу аргумента.

Для неперервної величини:

(4)

де f(x) – щільність розподілу випадкової величини X

(5)

За аналогією

(6)

(7)

(8)

Або

(9)

(10)

Теореми про числові характеристики

1. M(C)=0

2. D(C)=0

3. M(CX)=CM(x)

4. D(Cx)=C²D(X)

5. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

6.

7. D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Kxy

Kxy=M(X⁰Y⁰)=M((X-m_x)(Y-m_y))

 

коефіцієнт кореляції

Для некорельованих величин Kxy=0

8.

9.

10.

Тут X та Y – незалежні випадкові величини.

 

Коефіцієнт кореляції лінійно залежних випадкових величин

Y=aX+b

K_xy=M( )=M((X-m_x)(Y-m_y))=M((X-m_x)(aX+b-am_x-b))=aM((X-m_x)²)=a Dх

r_xy=

D_y=D(aX+b)=a²D_x

_y=|a|_x

r_xy=

Доведемо, що r_xy 1. Розглянемо

в. в. Z= _yX _xY

D_z= _y²D_{x x}²D_y 2 _{x y}K_xy

D_z=2 _x² _y² 2 _{x y}K_xy

2 _x² _y² 2 _{x y}K_xy 0 (так як D_z 0)

_xy K_xy 0|K_xy| _{x y}

|r_xy| 1.