Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків

Теорема. Якщо х₁, х₂, …, х_n ,… – незалежні випадкові величини з одним і тим же законом розподілу (m,6²), то при n закон розподілу суми

У_п= (1)

необмежено наближається до нормального.

Доведення. Розглянемо х₁,…, х_n – неперервні випадкові величини. Характеристичне рівняння для х_і

g_x(t)= (2)

g_y⁽^t⁾_n=(g_x(t))ⁿ (3)

згідно з попередніми теоремами.

Використаємо формулу Маклорена при t=0

g_x (t) = g_x (0)+ g^’_x (0)t+( )t²,

де при

Знайдемо із (2) при t=0

(5)

Продиференціюємо (2)

(6)

(7)

Не обмежуючи загальності , можна покласти m=0 (для цього достатньо перенести початок координат в точку m ).

Тоді

(8)

При m=0 інтеграл (8) є Dх

(9)

Підставляючи в (4) , одержимо

(10)

Перейдемо від випадкової величини У_п до випадкової величини

(11)

Ця величина зручна тим, що її дисперсія не залежить від п і дорівнює одиниці при будь-якому п. В цьому неважко переконатись, розглядаючи в.в. z_n як лінійну функцію незалежним в.в. х₂,…, х_n кожна із яких має дисперсію 6². Якщо ми доведемо, що закон розподілу величини z_n наближається до нормального, то очевидно, це буде справедливо і для величини у_п , яка зведена з z_n лінійною залежністю (11).

Замість того, що довести , що закон розподілу величини z_n при наближається до нормального б покажемо, що її характеристична функція наближається до хар-ної функції нормального закону. Хар. ф-ція z_n