Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені.
Означення 1. Многочлен Р[x] називається незвідним (нерозкладним, простим)у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочлена виду , де - константа. Многочлен виду є асоційованим з многочленом . Означення 2. Многочлен Р[x] називається звідним (складеним) у полі Р, якщо deg f 1 і в кільці Р[x] існують многочлени i , такі, що = , deg g 1 і deg s 1. Приклади: - звідний над Z, бо - незвідний над Z, бо цілих коренів немає: кожен многочлен другого степеня звідний над C; - звідний над Q, бо - незвідний над Q, бо D < 0. - звідний над R, так як
Властивості незвідних многочленів над полем : 1) Многочлени першого степеня над будь-яким полем є незвідними у кільці . 2) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для кожного многочлен також незвідний над . 3) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для будь-якого многочлена з кільця або =1. 4) Якщо незвідний многочлен над полем ділиться на незвідний многочлен , то ці многочлени відрізняються тільки сталим множником.
Теорема 1.Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді , (1) де всі є незвідними многочленами у полі . Зображення (1) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .
· Зображення (1) – це розклад многочлена на незвідні множники у полі .
Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді де – попарно різні (неасоційовні) многочлени, незвідні у Це зображення єдине з точністю до сталих множників і їх нумерації.
· Зображення (2) – це канонічний розклад многочлена у полі Р[x].
Означення 3.Якщо многочлен входить у канонічний розклад (2) у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за 1, називають кратними множниками. Теорема 2.Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких незвідних множників немає, то =1. Означення 4.Елемент Р називається k- кратним коренем (або коренем k-ї кратності) многочлена , якщо ділиться на , але не ділиться на . Означення 5.Корені кратності 1 називаються простими, a корені, кратність яких більша за 1, - кратними. Теорема 3. Число всіх можливих коренів многочлена над полем Р не перевищує його степеня. Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує , має коренів, то – нуль-многочлен. Теорема Кронекера. Якщо - довільний многочлен над полем Р, для якого , то існує розширення К поля Р, в якому многочлен має корінь. Теорема 4.Для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення L поля Р, в якому розкладається на лінійні множники. Означення 6. Поле L, де розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена. Теорема Вієта. Якщо - корені многочлена , то , ….................................................................................................. , - означає, що сума береться по всіх комбінаціях з n індексів 1,2 … n по k.
Означення 7. Похідною від многочлена називається многочлен . Похідна від нуль-многочлена дорівнює нулю.
Виконуються такі рівності: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Якщо поле Р має характеристику 0, то для кожного многочлена з кільця такого, що , виконується рівність . Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб многочлен був взаємно простим зі своєю похідною .
Теорема 6.Для того, щоб був коренем кратності многочлена , необхідно і достатньо, щоб , тобто щоб . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|