Здавалка
Главная | Обратная связь

Незвідні многочлени над полем. Розклад многочленів на незвідні множники. Похідна многочлена. Кратні корені.



Означення 1. Многочлен Р[x] називається незвідним (нерозкладним, простим)у полі Р, якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочлена виду ,

де - константа.

Многочлен виду є асоційованим з многочленом .

Означення 2. Многочлен Р[x] називається звідним (складеним) у полі Р, якщо deg f 1 і в кільці Р[x] існують многочлени i , такі, що = , deg g 1 і deg s 1.

Приклади: - звідний над Z, бо

- незвідний над Z, бо цілих коренів немає:

кожен многочлен другого степеня звідний над C;

- звідний над Q, бо

- незвідний над Q, бо D < 0.

- звідний над R, так як

 

Властивості незвідних многочленів над полем :

1) Многочлени першого степеня над будь-яким полем є незвідними у кільці .

2) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для кожного многочлен також незвідний над .

3) Якщо многочлен є незвідним над полем , то для будь-якого многочлена з кільця або =1.

4) Якщо незвідний многочлен над полем ділиться на незвідний многочлен , то ці многочлени відрізняються тільки сталим множником.

 

Теорема 1.Кожний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді , (1)

де всі є незвідними многочленами у полі .

Зображення (1) єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

 

· Зображення (1) – це розклад многочлена на незвідні множники у полі .

 

Наслідок. Довільний многочлен ненульового степеня над полем можна подати у вигляді
, (2)

де – попарно різні (неасоційовні) многочлени, незвідні у
полі .

Це зображення єдине з точністю до сталих множників і їх нумерації.

 

· Зображення (2) – це канонічний розклад многочлена у полі Р[x].

 

Означення 3.Якщо многочлен входить у канонічний розклад (2) у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена . Множники, кратність яких більша за 1, називають кратними множниками.

Теорема 2.Якщо многочлени і розкладені на незвідні множники у довільному полі Р, то найбільший спільний дільник дорівнює добутку всіх незвідних множників, які входять у розклад як , так і . Якщо таких незвідних множників немає, то =1.

Означення 4.Елемент Р називається k- кратним коренем (або коренем k-ї кратності) многочлена , якщо ділиться на , але не ділиться на .

Означення 5.Корені кратності 1 називаються простими, a корені, кратність яких більша за 1, - кратними.

Теорема 3. Число всіх можливих коренів многочлена над полем Р не перевищує його степеня.

Наслідок. Якщо многочлен , степінь якого не перевищує , має коренів, то нуль-многочлен.

Теорема Кронекера. Якщо - довільний многочлен над полем Р, для якого , то існує розширення К поля Р, в якому многочлен має корінь.

Теорема 4.Для будь-якого многочлена степеня існує таке розширення L поля Р, в якому розкладається на лінійні множники.

Означення 6. Поле L, де розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Теорема Вієта. Якщо - корені многочлена , то

,

…..................................................................................................

,

- означає, що сума береться по всіх комбінаціях

з n індексів 1,2 … n по k.

 

Означення 7. Похідною від многочлена називається многочлен .

Похідна від нуль-многочлена дорівнює нулю.

 

Виконуються такі рівності:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Якщо поле Р має характеристику 0, то для кожного многочлена з кільця такого, що , виконується рівність .

Для того, щоб многочлен не мав кратних множників, необхідно і достатньо, щоб многочлен був взаємно простим зі своєю похідною .

 

Теорема 6.Для того, щоб був коренем кратності многочлена , необхідно і достатньо, щоб , тобто щоб .







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.