 |
|
Кільце многочленів від n змінних. Розклад многочлена на добуток незвідних множників. Симетричні многочлени.
Означення 1.Кільцем многочленів 
від 
змінних 
над областю цілісності R називається кільце многочленів від однієї змінної 
над кільцем 
, тобто = [ ].
Кільце многочленів 
над областю цілісності R є область цілісності, причому кожен елемент 
можна подати як скінчену суму: 
, (1),
де 
Означення 2.Кожний елемент кільця називається многочленом від змінних над 
і позначається 
, 
і т.д.
Кожен доданок 
в сумі (1) називається членом многочлена 
, елемент 
– коефіцієнтом цього члена. Два члени, які відрізняються тільки коефіцієнтами називаються подібними.
Приклад:
-многочлен від двох зміннихx, y.
Теорема 1.Будь-який многочлен 
можна подати у канонічній формі ( без подібних членів ).
Означення 2Степенем члена 
многочлена називається сума 
. Число 
називається степенем даного члена відносно 
. Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.
Приклад: 
7 – степінь многочлена, 
- старший член многочлена.
Означення 3.Якщо всі члени многочлена мають однаковий степінь, то многочлен називається однорідним.
Теорема 2.Якщо і – відмінні від нуля многочлени з , де – область цілісності, то 
.
Нехай і 
- два члени многочлена . Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо 
. Відношення “бути вищим” на множині членів многочленів є лінійним строгим порядком, його називають лексикографічним(позначають 
).
Приклад: 
- лексикографічний запис многочлена, 
- вищий член.
Лема 1.Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.
Означення 4. Вважатимемо, що многочлен 
ділиться на многочлен 
і записуватимемо 
, якщо існує такий многочлен 
, що 
. При цьому 
- дільник .
Властивості подільності:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Означення 5. Многочлен 
називається незвідним у
полі Р, якщо 
і 
.
Многочлен 
називається звідним у полі Р, якщо 
і 
.
Властивості незвідних многочленів:
1) Якщо р незвідний у полі 
многочлен, то і будь-який асоційований з ним многочлен 
незвідний у полі .
2) Якщо 
і 
незвідні у полі Р многочлени і 
, то і асоційовані.
3) Будь-який многочлен 
першого степеня незвідний у полі .
Теорема 3. Будь-який многочлен над полем Р ненульового степеня множна подати як добуток многочленів, незвідних у полі Р, причому єдиним способом з точністю до сталих множників і їх порядку.
Лема 2.Для будь-якої скінченої системи елементів 
( 
– область цілісності), відмінних від нуля, існує єдиний ( з точністю до дільників одиниці ) НСД.
Означення 6.Многочлен 
називається примітивним (відносно ), якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.
Лема 3.Добуток двох примітивних многочленів з 
є примітивний многочлен.
Означення 7.Многочлен 
називається симетричним відносно змінних 
, якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.
Приклад: 
симетричний відносно 
;
симетричний відносно 
, але несиметричний відносно 
або 
не симетричний відносно 
Властивості симетричних многочленів:
1) Сума, різниця і добуток симетричних многочленів від n змінних над деяким полем є симетричний многочлен над цим полем.
Наслідок. Множина всіх симетричних многочленів від змінних над полем утворює область цілісності з 1 відносно дій додавання і множення.
2) Якщо симетричний многочлен містить деякий член 
, то він містить і член, утворений з даного, внаслідок будь-якої перестановки показників 
.
3) Якщо є вищий член симетричного многочлена, то 
.
Теорема 4. (основна теорема теорії симетричних
многочленів)
Всякий симетричний многочлен від змінних над полем можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій 
цих змінних, коефіцієнти якого належать тому ж полю , причому це представлення єдине.
Елементарні симетричні многочлени:
Представлення симетричних сум через елементарні симетричні многочлени:
