 |
|
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
5.1.Упорядкувати лексикографічно і знайти вищий член многочлена 
з кільця 
.
Розв’язання.
Маємо
Вищий член многочлена: 
. Многочлен впорядковано за спаданням степенів 
.
5.2.Застосовуючи заміну 
розкласти на незвідні у полі 
многочлен 
.
Розв’язання.
Маємо:
.
5.3. Чи симетричні многочлени:
.
Розв’язання.
Нехай 
, тоді 
,
цей многочлен несиметричний.
.
Розв’язання.
Нехай 
, тоді 
Нехай 
, тоді 
Нехай 
, тоді 
Цей многочлен симетричний.
5.4. Виразити через елементарні симетричні многочлени
.
Розв’язання.
§ 6. Застосування симетричних многочленів до розв¢язування деяких задач з елементарної алгебри.
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
6.1. У множині дійсних чисел розв¢язати систему : 
Розв’язання.
Ліва частина кожного з рівнянь системи є симетричним многочленом. Так як
то з першого рівняння одержимо, що 
.
Для другого рівняння маємо таке представлення: 
Тому 
= 9.
Аналогічно для третього рівняння: 
= 1.
В результаті маємо систему:
За теоремою Вієта складемо відповідне рівняння 
. Знайдемо його корені :
| -1 | -4 | |||
| -4 |
Повернувшись до змінних 
, одержимо, що одним з розв¢язків даної системи рівнянь є 
= 1, 
= 2, 
= -2. Всі інші корені дістаємо перестановкою чисел 1, 2, -2.
Таким чином
( ) є {(1, 2, -2),(1, -2, 2),(2, 1, -2),(-2, 1, 2),(2, -2, 1),(-2, 2, 1)}.
6.2.Розв¢язати систему ірраціональних рівнянь 
Розв’язання.
Зробимо заміну: 
Тоді матимемо систему рівнянь: 
Позначимо: 
і матимемо: 
Повертаючись до змінних 
і 
, знаходимо: 
.
Розв¢язками цієї системи є: 
.
Враховуючи введену заміну, матимемо сукупність систем:
Розв¢язками системи є пари чисел : (1, 8) і (8, 1).
6.3.Скласти квадратне рівняння з коренями 
і 
, якщо 
i 
є коренями квадратного рівняння 
.
Розв’язання.
Коренями рівняння є 
відповідно 
Нове квадратне рівняння матиме вигляд: 
Складемо систему, підставивши замість значення 
Тому шукане квадратне рівняння має вигляд: 
6.4.Довести, що коли + + = 0, то 
Розв’язання.
Виразимо 
через елементарні симетричні многочлени:
.
Так як 
, то 
.
Виразимо через елементарні симетричні многочлени вираз 
Матимемо, що 
Отже, рівність доведено.