Главная | Обратная связь

Рівняння третього степеня.

Нехай - рівняння третього степеня з комплексними коефіцієнтами. За допомогою підстановки зведемо його до виду (1)

 

Число називають дискримінантом рівняння (1).Корені цього рівняння знаходять за формулою , яка називається формулою Кардано.

Якщо і є тими значеннями кубічних коренів, при яких є коренями рівняння (1), то решту коренів цього рівняння обчислюють так:

Числа знаходяться з умови .

 

Якщо коефіцієнти p i q рівняння (1) є дійсними числами, то:

1) при рівняння має один дійсний корінь і два комплексних спряжених корені;

2) при рівняння має три дійсних корені і два з яких дорівнюють один одному;

3) при рівняння має три дійсних різних корені.

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

10.1.При яких дійсних значеннях рівняння має один дійсний корінь і два комплексних корені.

Розв’язання.

Щоб рівняння мало один дійсний корінь і два комплексних корені треба, щоб . Тому

 

Тому такі корені будуть при

 

10.2.Довести, що корені рівняння є дійсними при будь-якому дійсному значенню числа .

Розв’язання.

Зведемо це рівняння до виду (1), ввівши заміну : . Матимемо

 

Щоб корені рівняння були дійсними при будь-якому дійсному значенню числа треба, щоб виконувалася умова, що .

Дискримінант цього рівняння:

< 0.

Як бачимо умова виконується.

Отже рівняння має три різних дійсних корені при будь-якому дійсному значенню числа , що і треба було довести.

 

10.3.Розв’язати рівняння:

 

Розв’язання.

Дане рівняння є рівнянням виду (1), тому обчислюємо його дискримінант:

.

 

Тоді

Далі

 

10.4.Розв’язати рівняння:

 

Розв’язання.

Зведемо це рівняння до рівнянням виду (1), помноживши спершу обидві його частини на :

Виконажмо заміну:

Маємо:

Знаходимо дискримінант:

Тоді

 

§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів.
Теорема Штурма.

1) Всі корені многочлена лежать у середині круга з центром в точці 0 і радіусом .

2) Комплексні корені з дійсними коефіцієнтами розміщені симетрично відносно дійсної осі.

 

Теорема 1.Всі дійсні корені рівняння містяться в інтервалі , де .

 

Одним з методів знаходження верхньої межі додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами є метод Ньютона.

 

Теорема 2. Число М є верхньою межею додатніх коренів многочлена , якщо при = М многочлен має додатнє значення, а всі його похідні – невід’ємні значення.

Якщо – верхні межі відповідно додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами , то додатні корені многочлена знаходяться у проміжку ( ), а від’ємні – у проміжку ( ).

 

Означення 1.Нехай - деяка впорядкована послідовність дійсних чисел. Кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки, називаєтьсякількістю змін знаків даної послідовності.

 

Правило Декарта:

Число додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами дорівнює числу змін знаків у послідовності його коефіцієнтів або на парне число менше.

 

Це правило можна застосувати і для оцінки кількості від’ємних коренів многочлена за допомогою заміни .

 

Щоб відокремити дійсні корені необхідно знайти інтервали, у кожному з яких лежить лише один корінь. Це можна зробити методом Штурма.

 

Припускаємо, що вже не має кратних коренів.

Спочатку будуємо ряд Штурма: .

Щоб знайти многочлен , застосуємо алгоритм, подібний алгоритму Евкліда:

 

............................................

.

 

Для зручності позначимо: . Тут всі остачі беруться з протилежними знаками, тобто .

 

Властивості ряду Штурма:

Лема 1.Ніякі дві сусідні функції ряду не мають спільних коренів;

Лема 2.Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду, то значення сусідніх з нею функцій ряду мають у цій точці протилежні знаки;

Лема 3.Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду, але не проходить через корінь , то число змін знаків у ряді Штурма при цьому не зміниться;

Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена , то число змін знаків у ряді Штурма зменшиться на одиницю.

 

Теорема Штурма.

Якщо і ( ) – довільні дійсні числа, які не є коренями , то число дійсних коренів многочлена в інтервалі ( ) дорівнює , де і є число змін знаків у ряді Штурма відповідно у точках і .

 

Застосування теореми Штурма:

1) для будь-якого многочлена над полем дійсних чисел можна точно визначити загальне число дійсних коренів, а також число його додатніх і від’ємних коренів;

2) можна відокремити дійсні корені;

3) можна встановити,чи всі n коренів многочлена -го степеня є різні дійсніі числа.

 

Введемо такі позначення: М₊-верхня межа додатніх коренів, m₊ - нижня межа додатніх коренів, m_ - нижня межа від¢ємних коренів, M_{_} - верхня межа від¢ємних коренів.