ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

11.1.Знайти верхню межу додатніх коренів многочлена методом Ньютона.

Розв’язання.

Нехай 1 є верхньою межею додатніх коренів. Перевіримо, чи це дійсно так. Ділимо ліву частину на за схемою Горнера і маємо:

				-8
				-7	-6

В нижньому рядку таблиці одержали від¢ємні числа, це означає, що число 1 не є верхньою межею додатніх коренів. Вже при М = 2 від’ємних коефіцієнтів в таблиці немає.

				-8
				-7	-6

Візьмемо число М = 1,9 < 2 і отримуємо в рядку від¢ємні числа.

				-8
1.9		1.9	3.61	-7 -1.141	-6 -1.167

Тому можна взяти 2 в якості верхньої межі додатніх коренів: М₊ = 2.

11.2.Знайти нижню межу додатніх коренів многочлена методом Ньютона.

Розв’язання. Для знаходження нижньої межі додатніх коренів зробимо заміну і маємо рівняння .

За схемою Горнера ділимо на М = 1.3:

				-3
1.3		1.3	2.69	0.5	5.6

При М = 1.3 від’ємних коефіцієнтів немає, але вже при М = 1,2 отримуємо в рядку від¢ємні числа:

				-3
1.3 1.2		1.3 1.2	2.69 2.44	0.5 -0.56	5.6 4.32

Це значить, що за нижню межу додатніх коренів можна взяти 1.3:

11.3.Знайти межі додатніх і від’ємних коренів многочлена .

Розв’язання.

Якщо – верхні межі відповідно додатніх коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами , то додатні корені многочлена знаходяться у проміжку ( ), а від’ємні відповідно у проміжку ( ).

Знайдемо спочатку верхню межу додатніх коренів за формулою .

Тут . Отже . Але це занадто велике число. Перевіримо за теоремою Ньютона, чи не буде верхньою межею, наприклад, число 4. Для цього, користуючись схемою Горнера, знайдемо значення всіх похідних від при , причому нас цікавлять не самі значення похідних, а їх знаки:

			-3	-25	-41	-18
						+

(замість остачі поставимо знак +, бо видно, що вона додатня).

Оскільки коефіцієнти за схемою Горнера будуються за допомогою тільки додаванняі множення, а вдругому рядку цієї схеми стоять лише додатні числа, то при наступних діленнях від’ємні коефіцієнти з’явитись не можуть.

А тому всі остачі, отже і похідні від будуть додатні. Число 4 теж є верхня межа додатніх коренів . Але ми шукаємо таку цілочисельну верхню межу , що вже не задовольняє умову теореми Ньютона.

Перевіримо, чи не буде верхнею межею число 2. Складемо схему Горнера для :

-3	-25	-41	-18
-11	-63	-

Із схеми видно, що . Число 2 не є верхня межа коренів. Перевіримо ще число 3:

			-3	-25	-41	-18
						+

З наведених вище міркувань робимо висновок, що число 3 задовольняє умові теореми Ньютона, а тому і є верхня межа додатніх коренів . Причому 3 є найменша з цілочисельних верхніх меж, бо 2 вже не є верхня межа.

Отже = 3.

Для знаходження нижньої межі від’ємних коренів розглянемо многочлен .

Знайдемо межу: . Але знову ж це занадто велике число. Перевіримо за теоремою Ньютона, чи не буде верхньою межею многочлена , наприклад, число 3:

-3	-3		-41
	-3			+
		+	+

Знову одержали рядок із додатніх чисел. При наступних діленнях всі числа так само будуть додатні, а тому 3 є верхня межа. Перевіримо, чи не буде верхньою межею число 2: