Главная | Обратная связь

Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Критерій незвідності Ейзенштейна.

Будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх цих коефіцієнтів.

Теорема 1. Щоб число , де ( ) = 1 було коренем рівняння з цілими коефіцієнтами необхідно, щоб було дільником вільного члена многочлена , а - дільником старшого коефіцієнта цього рівняння.

Наслідок. Якщо старший коефіцієнт рівняння з цілими коефіцієнтами рівний 1, то всі раціональні корені цього рівняння є цілі числа і є дільниками вільного члена.

Теорема 2Щоб дріб , де ( ) = 1 був раціональним коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , необхідно, щоб при довільному цілому число ділилося на , де 0.

· Ця умова використовується частіше для = 1, при цьому числа і мають бути цілими.

Наслідок.Якщо старший коефіцієнт многочлена з цілими коефіцієнтами рівний 1, то його раціональними коренями можуть бути лише такі цілі числа , для яких ділиться на ( ) при будь-якому цілому, причому ( ) 0.

Теорема 3.Для того, щоб многочлен з цілими коефіцієнтами був звідним у полі Q раціональних чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідний у кільці Z цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Теорема 4. У кільці многочленів над полем раціональних чисел є многочлени довільного степеня, незвідні у полі Q.

Теорема 5.Якщо многочлен з раціональними коефіцієнтами, степінь якого більший за 1, має хоч один раціональний корінь , то звідний у полі раціональних чисел.

Теорема 6. Якщо многочлен третього степеня з раціональними коефіцієнтами не має раціональних коренів, то він незвідний у полі раціональних чисел.

Теорема 7. (Критерій Ейзенштейна незвідності многочлена з цілими коефіцієнтами ):

Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі раціональних чисел.